Wykaż, że trapez, w którym przekątne dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy, jest równoramienny.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKE## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-27.png]
# Dowód
Rozważmy trapez ABCD, gdzie AB || CD, przy czym AB jest dłuższą podstawą.
Załóżmy, że przekątne AC i BD dzielą kąty przy podstawie AB na połowy, tzn.: - ∠CAB = ∠CAD - ∠DBA = ∠DBC
Oznaczmy punkt przecięcia przekątnych jako P.
## Krok 2: Analiza kątów przy wierzchołku A
Ponieważ AC dzieli kąt DAB na połowy: ∠CAB = ∠CAD
Z równoległości AB || CD wynika, że: ∠CAB = ∠ACD (kąty naprzemianległe)
Zatem: ∠CAD = ∠ACD
## Krok 3: Wniosek o trójkącie ACD
W trójkącie ACD mamy: ∠CAD = ∠ACD
Trójkąt o dwóch równych kątach jest równoramienny, więc: AD = CD
## Krok 4: Analiza kątów przy wierzchołku B
Analogicznie, ponieważ BD dzieli kąt ABC na połowy: ∠DBA = ∠DBC
Z równoległości AB || CD: ∠DBA = ∠BDC (kąty naprzemianległe)
Zatem: ∠DBC = ∠BDC
## Krok 5: Wniosek o trójkącie BCD
W trójkącie BCD mamy: ∠DBC = ∠BDC
Trójkąt o dwóch równych kątach jest równoramienny, więc: BC = CD
## Krok 6: Wniosek końcowy
Z kroków 2 i 4 otrzymujemy: AD = CD = BC
Zatem: AD = BC
Trapez, w którym ramiona są równej długości, jest trapezem równoramiennym.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.