Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC jest styczny do przeciwprostokątnej AB w punkcie K. Wiadomo, że |AK| = 4 i |KB| = 6. Oblicz promień tego okręgu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: r=2
Oznaczmy promień okręgu wpisanego jako r, a kąt prosty trójkąta znajduje się w wierzchołku C.
Krok 1: Wykorzystanie własności stycznych
Z punktu A do okręgu można poprowadzić dwie styczne. Niech okrąg styka się z przyprostokątną AC w punkcie P, a z przyprostokątną BC w punkcie Q.
Z własności stycznych do okręgu z punktu zewnętrznego: - |AK| = |AP| = 4 - |BK| = |BQ| = 6 - |CP| = |CQ| = r (bo C jest wierzchołkiem kąta prostego)
Krok 2: Wyznaczenie długości boków
Możemy teraz wyznaczyć długości boków trójkąta: - |AB| = |AK| + |KB| = 4 + 6 = 10 - |AC| = |AP| + |PC| = 4 + r - |BC| = |BQ| + |QC| = 6 + r
Krok 3: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
Ponieważ trójkąt ABC jest prostokątny z kątem prostym przy C, zachodzi:
|AB|² = |AC|² + |BC|²
Podstawiając nasze wyrażenia:
10² = (4+r)² + (6+r)²
Krok 4: Rozwiązanie równania
100 = (4+r)² + (6+r)²
100 = 16 + 8r + r² + 36 + 12r + r²
100 = 52 + 20r + 2r²
2r² + 20r + 52 = 100
2r² + 20r - 48 = 0
Dzielimy przez 2:
r² + 10r - 24 = 0
Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego
Szukamy rozkładu: r² + 10r - 24 = (r+12)(r-2) = 0
Stąd: r = -12 lub r = 2
Ponieważ promień musi być dodatni: r = 2
Odpowiedź: r = 2
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.