Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x-1)²+y²=4 z prostą y=-1 jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.0
- B.1
- C.2
- D.3
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-19.png]
Aby znaleźć liczbę punktów wspólnych okręgu i prostej, podstawia się równanie prostej do równania okręgu.
Krok 2: Analiza danych
Okrąg: (x-1)² + y² = 4 - środek: S = (1, 0) - promień: r = 2 (bo r² = 4)
Prosta: y = -1
Krok 3: Podstawienie równania prostej do równania okręgu
Podstawia się y = -1 do równania okręgu:
(x-1)² + (-1)² = 4
(x-1)² + 1 = 4
(x-1)² = 3
Krok 4: Rozwiązanie równania
x - 1 = ± √(3)
x = 1 ± √(3)
Otrzymuje się dwa rozwiązania: - x₁ = 1 - √(3) - x₂ = 1 + √(3)
Krok 5: Punkty wspólne
Okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne: - A = (1 - √(3), -1) - B = (1 + √(3), -1)
Weryfikacja geometryczna:
Odległość środka okręgu S = (1, 0) od prostej y = -1: d = |0 - (-1)| = 1
Ponieważ d = 1 < r = 2, prosta przecina okrąg w dwóch punktach.
Odpowiedź: C
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.