Przekątna równoległoboku ma długość 10 cm i tworzy z krótszym bokiem kąt prosty, a z dłuższym bokiem kąt 30°. Oblicz długość krótszego boku tego równoległoboku.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 10√(3)/3
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-31.png]
Oznaczmy: - a – długość krótszego boku - b – długość dłuższego boku - d = 10 cm – długość przekątnej
Krok 2: Analiza sytuacji
Przekątna równoległoboku dzieli go na dwa przystające trójkąty. Rozpatrzmy jeden z nich, który ma boki: krótszy bok a, dłuższy bok b i przekątną d = 10 cm.
Krok 3: Wykorzystanie informacji o kątach
Z treści zadania: - przekątna tworzy z krótszym bokiem kąt prosty (90°) - przekątna tworzy z dłuższym bokiem kąt 30°
To oznacza, że w trójkącie mamy: - kąt przy krótszym boku: 90° - kąt przy dłuższym boku: 30° - kąt przy wierzchołku przeciwległym: 180° - 90° - 30° = 60°
Krok 4: Rozpoznanie trójkąta
Otrzymaliśmy trójkąt prostokątny z kątami 30°, 60°, 90°.
Krok 5: Ustalenie położenia boków
W tym trójkącie: - przeciwprostokątna to dłuższy bok b - przekątna d = 10 cm leży naprzeciw kąta 60° - krótszy bok a leży naprzeciw kąta 30°
Krok 6: Zastosowanie twierdzenia sinusów
asin 30° = dsin 60°
Podstawiamy wartości:
a/(1/2) = 10/(√(3)/2)
a/(1/2) = 10 · 2/√(3)
a · 2 = 20/√(3)
a = 10/√(3)
Krok 7: Wymiernienie mianownika
a = 10/√(3) · √(3)/√(3) = 10√(3)/3
Odpowiedź: Długość krótszego boku równoległoboku wynosi 10√(3)/3 cm.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.