Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c ma długość √(a²+b²+c²).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-28.png]
Rozważmy prostopadłościan o krawędziach długości a, b, c.
Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych
Umieśćmy prostopadłościan w układzie współrzędnych tak, aby jeden z wierzchołków znajdował się w punkcie O = (0, 0, 0), a krawędzie wychodziły wzdłuż osi współrzędnych.
Wtedy przeciwległy wierzchołek (na końcu przekątnej) ma współrzędne P = (a, b, c).
Krok 3: Obliczenie przekątnej podstawy
Najpierw znajdźmy długość przekątnej prostokąta będącego podstawą prostopadłościanu (na przykład podstawy w płaszczyźnie xy).
Podstawa ma wymiary a × b, więc z twierdzenia Pitagorasa:
d₁ = √(a² + b²)
Krok 4: Obliczenie przekątnej prostopadłościanu
Teraz rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez: - przekątną podstawy d₁ = √(a² + b²) (przyprostokątna) - wysokość prostopadłościanu c (druga przyprostokątna) - przekątną prostopadłościanu d (przeciwprostokątna)
Ponownie stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
d² = d₁² + c²
d² = (√(a² + b²))² + c²
d² = a² + b² + c²
Krok 5: Wynik końcowy
Pierwiastkując obie strony otrzymujemy:
d = √(a² + b² + c²)
Alternatywnie (używając wzoru na odległość w przestrzeni):
Odległość między punktami O = (0, 0, 0) i P = (a, b, c) wynosi:
d = √((a-0)² + (b-0)² + (c-0)²) = √(a² + b² + c²)
co potwierdza nasz wynik.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.