Tworząca stożka jest o 2 dłuższa od promienia podstawy. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe 15π. Tworząca stożka ma zatem długość
Odpowiedzi do wyboru
- A.1
- B.5
- C.3
- D.15
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-24.png]
Oznaczmy: - r – promień podstawy stożka - l – tworząca stożka
## Krok 2: Zapisanie danych z treści zadania
Z warunku "tworząca stożka jest o 2 dłuższa od promienia podstawy": l = r + 2
Pole powierzchni bocznej stożka wynosi 15π.
## Krok 3: Wzór na pole powierzchni bocznej stożka
Pole powierzchni bocznej stożka wyraża się wzorem: P_(boczne) = πr l
## Krok 4: Podstawienie danych do wzoru
Podstawiamy P_(boczne) = 15π oraz l = r + 2: πr(r + 2) = 15π
## Krok 5: Rozwiązanie równania
Dzielimy obie strony przez π: r(r + 2) = 15
Rozwijamy nawias: r² + 2r = 15
Przenosimy wszystko na lewą stronę: r² + 2r - 15 = 0
## Krok 6: Rozwiązanie równania kwadratowego
Szukamy dwóch liczb, których iloczyn wynosi -15, a suma wynosi 2. Są to liczby 5 i -3.
Rozkład na czynniki: (r + 5)(r - 3) = 0
Stąd: r = -5 lub r = 3
Ponieważ promień musi być dodatni, r = 3.
## Krok 7: Obliczenie długości tworzącej
l = r + 2 = 3 + 2 = 5
Odpowiedź: B
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.