Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa 6, a długość krawędzi bocznej jest równa 2√(15). Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej piramidy do podstawy.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 60°
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-34.png]
Oznaczmy: - H = 6 – wysokość ostrosłupa - b = 2√(15) – długość krawędzi bocznej - a – długość krawędzi podstawy
Krok 2: Znajdźmy długość krawędzi podstawy
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość pada na środek kwadratu podstawy. Rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez: - wysokość ostrosłupa H = 6 - odległość od środka podstawy do wierzchołka podstawy (połowa przekątnej kwadratu) = a√(2)/2 - krawędź boczną b = 2√(15)
Z twierdzenia Pitagorasa: b² = H² + (a√(2)/2)²
(2√(15))² = 6² + 2a²/4
60 = 36 + a²/2
24 = a²/2
a² = 48
a = 4√(3)
Krok 3: Znajdźmy kąt nachylenia ściany bocznej
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między płaszczyzną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy.
Ten kąt znajduje się w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi podstawy. Rozważmy przekrój przez: - wysokość ostrosłupa - środek krawędzi podstawy (apotema)
W tym przekroju mamy trójkąt prostokątny, w którym: - przyprostokątna pionowa = wysokość H = 6 - przyprostokątna pozioma = odległość od środka podstawy do środka krawędzi (apotema podstawy) = a/2 = 4√(3)/2 = 2√(3) - przeciwprostokątna = apotema ściany bocznej
Kąt α między ścianą boczną a podstawą spełnia: tan α= H/(a/2) = 6/(2√(3)) = 3/√(3) = 3√(3)/3 = √(3)
Ponieważ tan α= √(3), to: α= 60°
Odpowiedź: Miara kąta nachylenia ściany bocznej piramidy do podstawy wynosi 60°.
Funkcja liniowa: Współczynnik kierunkowy, równanie prostej, proste równoległe i prostopadłe oraz zadania o wykresie i miejscu zerowym.