W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość a. Kąt ostry przy tym boku ma miarę α. Wykaż, że sin α+cos α>1.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-27.png]
Oznaczmy trójkąt prostokątny jako ABC, gdzie kąt prosty jest przy wierzchołku C.
Krok 2: Ustalenie oznaczeń
Niech: - AC = a (dana przyprostokątna) - kąt α jest przy wierzchołku A (kąt ostry przy boku a) - BC = b (druga przyprostokątna) - AB = c (przeciwprostokątna)
Krok 3: Wyznaczenie sin α i cos α
Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:
sin α= BC/AB = b/c
cos α= AC/AB = a/c
Krok 4: Obliczenie sumy
sin α+ cos α= b/c + a/c = (a+b)/c
Krok 5: Wykazanie nierówności
Musimy udowodnić, że: (a+b)/c > 1
co jest równoważne: a + b > c
Krok 6: Uzasadnienie za pomocą nierówności trójkąta
W dowolnym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku (nierówność trójkąta).
W naszym trójkącie: a + b > c
Ta nierówność jest ostra (ze znakiem >), ponieważ punkty A, B, C nie są współliniowe (tworzą trójkąt).
Krok 7: Alternatywne uzasadnienie algebraiczne
Z twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c²
Rozważmy: (a+b)² = a² + 2ab + b² = c² + 2ab
Ponieważ a > 0 i b > 0 (długości boków), to 2ab > 0, więc: (a+b)² = c² + 2ab > c²
Zatem: a + b > c
Wniosek:
sin α+ cos α= (a+b)/c > 1
co było do wykazania. ∎
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.