Kąt α jest ostry oraz sin α=2/5. Wówczas
Odpowiedzi do wyboru
- A.cos α=sin α
- B.cos α>sin α
- C.cos α < sin α
- D.cos α=1-sin α
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-16.png]
Dane: kąt α jest ostry, sin α= 2/5
Krok 2: Obliczenie cos α
Z tożsamości trygonometrycznej: sin² α+ cos² α= 1
Podstawiamy: (2/5)² + cos² α= 1
4/25 + cos² α= 1
cos² α= 1 - 4/25 = (25-4)/25 = 21/25
Ponieważ α jest kątem ostrym (czyli 0° < α< 90°), to cos α> 0, zatem: cos α= √(21/25) = √(21)/5
Krok 3: Porównanie cos α i sin α
Musimy porównać √(21)/5 z 2/5.
Ponieważ mianowniki są równe, wystarczy porównać liczniki: √(21) ? 2
Podnosimy obie strony do kwadratu (obie są dodatnie): 21 > 4
Zatem: √(21) > 2
A więc: √(21)/5 > 2/5
czyli: cos α> sin α
Sprawdzenie pozostałych opcji: - A: cos α= sin α — fałsz (udowodniliśmy nierówność) - C: cos α< sin α — fałsz (odwrotnie) - D: cos α= 1 - sin α= 1 - 2/5 = 3/5, ale cos α= √(21)/5 ≈ 4,58/5 — fałsz
Odpowiedź: B
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.