W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(3,-2). Funkcja kwadratowa g jest określona wzorem g(x)=f(x+1). Jednym z miejsc zerowych funkcji g jest liczba 0. Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisujemy $f$ w postaci kanonicznej.

Skoro wierzchołek to

W=(3,-2)

, to:

f(x)=a(x-3)^{2}-2

dla pewnej liczby

a\ne 0

Krok 2. Zapisujemy $g$ i wykorzystujemy miejsce zerowe.

g(x)=f(x+1)=a(x+1-3)^{2}-2=a(x-2)^{2}-2

Z warunku

g(0)=0

a(0-2)^{2}-2=0

4a-2=0\quad\Rightarrow\quad a=\tfrac{1}{2}

Krok 3. Postać kanoniczna i ogólna funkcji $f$ .

f(x)=\tfrac{1}{2}(x-3)^{2}-2

Rozwijamy:

f(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(x^{2}-6x+9\bigr)-2=\tfrac{1}{2}x^{2}-3x+\tfrac{9}{2}-2=\tfrac{1}{2}x^{2}-3x+\tfrac{5}{2}

Odpowiedź:

f(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}-3x+\tfrac{5}{2}