Ile jest liczb czterocyfrowych - reguła mnożenia krok po kroku

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych jest $9000$, bo są to liczby od $1000$ do $9999$. Ten sam wynik dostajesz z reguły mnożenia: pierwsza cyfra ma $9$ możliwości (od $1$ do $9$, bo liczba nie może zaczynać się od zera), a każda z trzech pozostałych ma $10$ możliwości, czyli $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000$. Jeśli dodatkowo cyfry nie mogą się powtarzać, wynik to $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$.

To nie jest ciekawostka, tylko jeden z najczęściej powtarzanych typów zadań na maturze podstawowej. W naszej bazie zadań CKE aż $31$ z $44$ zadań z kombinatoryki to zadania o zliczaniu liczb dwucyfrowych, trzycyfrowych, czterocyfrowych albo pięciocyfrowych. Taki przykład był w arkuszu majowym w $2023$, $2024$, $2025$ i $2026$ roku, w każdym arkuszu czerwcowym z lat $2023$, $2024$ i $2025$, a także w arkuszu poprawkowym z sierpnia $2023$ i w maturze próbnej z lutego 2026. Jeśli opanujesz jeden schemat, masz praktycznie pewny punkt w każdym arkuszu.

Reguła mnożenia - jedyna zasada, której naprawdę potrzebujesz

Reguła mnożenia mówi, że jeśli wybór składa się z kilku niezależnych etapów, to liczba wszystkich możliwości jest iloczynem liczby możliwości na każdym etapie. Przy liczbach n-cyfrowych etapami są kolejne pozycje: cyfra tysięcy, setek, dziesiątek i jedności. Ustalasz, ile cyfr wolno wstawić na każdą pozycję, i mnożysz te liczby przez siebie.

$\text{liczba możliwości} = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot n_4$

Nie potrzebujesz tu ani silni, ani symbolu Newtona. Wzory na permutacje i kombinacje przydają się w innych zadaniach, ale w zliczaniu liczb n-cyfrowych prawie zawsze wystarcza mnożenie pozycji. Jeśli chcesz odświeżyć pozostałe narzędzia, zajrzyj do poradnika o tym, jak obliczyć silnię, kombinacje i permutacje oraz do przewodnika po kombinatoryce na maturze.

Dlaczego pierwsza cyfra ma 9 możliwości, a nie 10

Liczba czterocyfrowa z definicji zaczyna się od cyfry różnej od zera. Zapis $0725$ to nie jest liczba czterocyfrowa, tylko trzycyfrowa liczba $725$. Dlatego na pierwszej pozycji zostaje $9$ cyfr: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Na pozostałych pozycjach zero jest w pełni dozwolone, więc tam masz $10$ możliwości.

To jest najczęściej popełniany błąd w całym dziale. Jeśli policzysz $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$, dostaniesz liczbę wszystkich czterocyfrowych ciągów cyfr, a nie liczb. Różnica to dokładnie te $1000$ zapisów zaczynających się od zera.

Zapamiętaj też szybką kontrolę wyniku: liczb n-cyfrowych jest tyle, ile wynosi $9 \cdot 10^{n-1}$. Czyli dwucyfrowych jest $90$, trzycyfrowych $900$, czterocyfrowych $9000$, a pięciocyfrowych $90000$. Jeśli twój wynik przekracza tę wartość, na pewno gdzieś jest błąd.

Ile jest liczb czterocyfrowych - gotowe wyniki

Poniższa tabela zbiera warianty, które wracają na maturze najczęściej. Warto je przeliczyć samodzielnie raz, a potem używać jako punktu kontrolnego.

Ostatni wiersz to dobry test zrozumienia. Cyfr parzystych jest pięć ($0, 2, 4, 6, 8$), ale na pierwszej pozycji zero odpada, więc zostają cztery.

Schemat rozwiązania w 4 krokach

Zanim zaczniesz mnożyć, zawsze wykonaj te same cztery ruchy. Dzięki nim nie pomylisz kolejności i nie zgubisz warunku z treści zadania.

Krok 1: narysuj tyle kresek, ile jest pozycji. Dla liczby czterocyfrowej rysujesz cztery miejsca i podpisujesz je: tysiące, setki, dziesiątki, jedności.

Krok 2: wypisz wszystkie warunki z treści. Podzielność, parzystość, zakaz powtórzeń, zadany zbiór cyfr, nierówność typu "większa od $700$". Każdy warunek dotyczy konkretnej pozycji albo relacji między pozycjami.

Krok 3: zacznij od pozycji najbardziej ograniczonej. Jeśli warunek dotyczy cyfry jedności (parzystość, podzielność przez $5$), zaczynasz od niej, a nie od lewej strony. Dopiero potem wracasz do pierwszej cyfry, bo liczba jej możliwości może zależeć od wcześniejszego wyboru.

Krok 4: pomnóż liczby możliwości i sprawdź rząd wielkości. Wynik nie może przekroczyć $9000$ dla liczb czterocyfrowych ani $900$ dla trzycyfrowych.

Kiedy reguła mnożenia nie wystarczy

Nie każde zadanie o liczbach n-cyfrowych rozwiązuje się mnożeniem pozycji. Gdy warunek dotyczy podzielności całej liczby albo przedziału, w którym leży, szybciej działa zliczanie wyrazów ciągu arytmetycznego. Rozpoznasz to po sformułowaniach "mniejszych od", "większych niż", "podzielnych przez".

Zadanie z matury maj 2018: ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od $2018$ i podzielnych przez $5$?

Krok 1: ustal pierwszą i ostatnią liczbę. Najmniejsza czterocyfrowa podzielna przez $5$ to $1000$, największa mniejsza od $2018$ to $2015$.

Krok 2: rozpoznaj ciąg arytmetyczny. Kolejne liczby różnią się o $5$, więc $a_1 = 1000$, $r = 5$, $a_n = 2015$.

Krok 3: policz liczbę wyrazów. $n = \frac{2015 - 1000}{5} + 1 = 203 + 1 = 204$.

Ta metoda działa zawsze, gdy zliczasz wielokrotności w przedziale. Przykład bez podzielności jest jeszcze prostszy: liczb czterocyfrowych mniejszych niż $2017$ jest $2016 - 1000 + 1 = 1017$. Formalny wzór na liczbę wyrazów znajdziesz w tekście o tym, jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. O jedynkę na końcu bardzo łatwo się potknąć, więc zawsze sprawdź wzór na krótkim przykładzie, który umiesz policzyć na palcach.

Spójnik "lub" i zasada włączania i wyłączania

Gdy w treści pojawia się "lub", nie wolno po prostu dodać obu wyników, bo część liczb spełnia oba warunki naraz i policzyłbyś je dwa razy.

Zadanie z zestawu treningowego CKE: ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez $15$ lub $20$?

Krok 1: policz podzielne przez $15$. To $15, 30, 45, 60, 75, 90$, czyli $6$ liczb.

Krok 2: policz podzielne przez $20$. To $20, 40, 60, 80$, czyli $4$ liczby.

Krok 3: znajdź część wspólną. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $15$ i $20$ to $60$, a dwucyfrowa jest tylko jedna taka liczba.

Krok 4: zastosuj wzór. $6 + 4 - 1 = 9$.

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Kod to nie to samo co liczba

W zadaniu 33 z matury maj 2024 rozważano kody czterocyfrowe utworzone z cyfr $1, 3, 6, 8$, w których każda cyfra występuje dokładnie raz. Odpowiedź to $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$, czyli liczba permutacji czterech elementów.

Różnica jest zasadnicza: kod, PIN albo numer rejestracyjny może zaczynać się od zera, a liczba czterocyfrowa nie. Zawsze sprawdź w treści, czy mowa o liczbie, czy o kodzie. To jedno słowo zmienia pierwszy czynnik z $9$ na $10$.

Podobnie działa zadanie z matury maj 2021 o liczbach trzycyfrowych większych od $700$, w których każda cyfra należy do zbioru $\{1, 2, 3, 7, 8, 9\}$ i żadna się nie powtarza. Cyfra setek musi być z $\{7, 8, 9\}$, czyli $3$ możliwości, a dwie kolejne wybierasz z pozostałych pięciu cyfr: $5 \cdot 4 = 20$. Razem $3 \cdot 20 = 60$.

Typowe pułapki

Zero na pierwszej pozycji. Najczęstszy błąd w dziale. Liczba czterocyfrowa nigdy nie zaczyna się od zera, kod może.

Dodawanie zamiast mnożenia. Etapy jednego wyboru mnożysz. Dodajesz tylko przypadki, które się wzajemnie wykluczają.

Rozpoczynanie od lewej strony przy warunku na końcu. Jeśli warunek dotyczy parzystości albo podzielności przez $5$, najpierw ustal cyfrę jedności, a dopiero potem pierwszą cyfrę.

Zapomniane odjęcie części wspólnej przy "lub". Bez tego liczby spełniające oba warunki liczysz podwójnie.

Błąd o jeden przy zliczaniu wielokrotności. We wzorze $n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1$ łatwo zgubić końcową jedynkę.

Mylenie "co najmniej jedna" z "dokładnie jedna". Przy "co najmniej" zwykle szybciej policzyć zdarzenie przeciwne i odjąć wynik od całości.

Checklista: co musisz umieć

Kolejny krok to trening na realnych zadaniach. Pełną pulę zadań z tego działu znajdziesz w kategorii kombinatoryka, a rozwiązania krok po kroku w zestawie zadania CKE z kombinatoryki. Warto od razu przerobić też dział prawdopodobieństwo, bo zliczanie liczb n-cyfrowych bardzo często bywa pierwszym krokiem w zadaniu o prawdopodobieństwie, co pokazuje poradnik o kombinatoryce i prawdopodobieństwie na maturze.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie