Zadania CKE z kombinatoryki z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Zadania CKE z kombinatoryki - dlaczego ten dział budzi strach

Kombinatoryka ma wśród maturzystów opinię działu, w którym "nigdy nie wiadomo, którego wzoru użyć". Permutacje, wariacje, kombinacje, do tego silnia i symbol Newtona - brzmi jak dużo, a w praktyce sprowadza się do kilku schematów i dwóch pytań kontrolnych. Ten tekst zbiera w jednym miejscu wszystkie wzory, tabelę decyzyjną, sześć rozwiązanych przykładów w stylu zadań CKE i typowe pułapki.

Warto zainwestować w ten dział, bo kombinatoryka to fundament prawdopodobieństwa. W klasycznej definicji prawdopodobieństwa i licznik, i mianownik to wyniki zliczania - czyli czysta kombinatoryka. Kto umie zliczać, ma z głowy oba działy naraz.

Wzory, które musisz znać

Reguła mnożenia to podstawa całego działu. Jeśli pewien wybór składa się z kolejnych etapów i pierwszy etap można wykonać na $n_1$ sposobów, drugi na $n_2$ i tak dalej, to wszystkich możliwości jest

$n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$

Permutacje to wszystkie ustawienia $n$ różnych elementów w ciąg. Jest ich

$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

Przykładowo $4! = 24$, $5! = 120$. Przyda się też umowa $0! = 1$.

Wariacje bez powtórzeń to wybór $k$ elementów spośród $n$, gdy kolejność ma znaczenie i elementy się nie powtarzają:

$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Wariacje z powtórzeniami to sytuacja, gdy kolejność ma znaczenie, a elementy mogą się powtarzać, jak cyfry w kodzie PIN:

$W_n^k = n^k$

Kombinacje to wybór $k$ elementów spośród $n$, gdy kolejność nie gra roli:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

Symbol $\binom{n}{k}$ czytamy "n nad k". Wszystkie te wzory znajdziesz też w tablicach maturalnych, ale na egzaminie liczy się umiejętność wyboru właściwego, a nie samo ich odszukanie.

Który wzór wybrać - tabela decyzyjna

Zanim zaczniesz liczyć, odpowiedz na dwa pytania: czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać.

Prosty test na kolejność: czy zamiana dwóch wybranych elementów miejscami daje inny wynik? Przy ustawianiu osób w kolejce tak (kolejność ważna), przy wyborze dwuosobowej delegacji nie (delegacja Ani z Bartkiem to ta sama delegacja co Bartka z Anią).

Rozwiązane przykłady w stylu CKE

Najczęstsze pułapki

Mylenie kombinacji z wariacjami. Jeśli zamiana wybranych elementów miejscami daje inny wynik, to wariacje. Jeśli nie, kombinacje. To pytanie kontrolne rozstrzyga większość wątpliwości.

Zero na pierwszym miejscu. W zadaniach o liczbach pierwsza cyfra nie może być zerem, w zadaniach o kodach może. Jedno słowo w treści zmienia cały wynik.

Dodawanie zamiast mnożenia. Etapy jednego wyboru mnożysz. Dodajesz wtedy, gdy przypadki się wykluczają, na przykład osobno liczysz liczby parzyste i osobno nieparzyste.

Liczenie "co najmniej" wprost. Da się, ale to prosta droga do pominięcia przypadku. Dopełnienie jest szybsze i bezpieczniejsze.

Silnia rośnie błyskawicznie. Zanim policzysz $10!$ w całości, sprawdź, czy ułamek się nie skraca: $\frac{10!}{8!} = 10 \cdot 9 = 90$.

Jak ćwiczyć ten dział

Teoria bez zadań nie działa. Wszystkie zadania z kombinatoryki z prawdziwych arkuszy CKE znajdziesz w jednym miejscu: zadania z kombinatoryki. Każde ma rozwiązanie krok po kroku, więc gdy utkniesz, nie zostajesz sam.

Kolejność pracy, która się sprawdza: najpierw zadania na czystą regułę mnożenia, potem liczby z warunkami (parzystość, różne cyfry), na końcu kombinacje i zadania typu "co najmniej". Gdy dział zaczyna wchodzić, sprawdź się na losowych zadaniach i rozwiąż cały arkusz CKE na czas. Postępy śledzisz w panelu postępów.

Jeśli utkniesz na zadaniu ze szkolnego zbioru, którego nie ma w bazie, wrzuć je do solvera. O tym, jak korzystać z takich narzędzi z głową, piszemy w tekście solver matematyczny online.

FAQ

Podsumowanie: co musisz umieć

Regułę mnożenia i odruch rozbijania wyboru na etapy. Wzory na permutacje $n!$, wariacje bez powtórzeń $\frac{n!}{(n-k)!}$, wariacje z powtórzeniami $n^k$ i kombinacje $\binom{n}{k}$. Dwa pytania kontrolne: czy kolejność ma znaczenie i czy elementy się powtarzają. Obsługę warunków w pierwszej kolejności, metodę sklejania przy "obok siebie" i dopełnienie przy "co najmniej".

Masz wzory, masz tabelę decyzyjną, masz sześć rozwiązanych przykładów. Teraz brakuje tylko treningu: wejdź na zadania z kombinatoryki i rozwiąż pierwsze z nich jeszcze dziś.

Następny krok Losuj kolejne zadanie