Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 5120
Podzielmy sobie nasze cyfry na trzy grupy:
I grupa: Cyfra {7} - w naszej liczbie musi znaleźć się dokładnie jedna siódemka. Jej miejsce możemy określić na 5 różnych sposobów:
7■■■■ ■7■■■ ■■7■■ ■■■7■ ■■■■7
II grupa: Cyfry {2,4,6,8} - to wszystkie cyfry parzyste. Wiemy, że w zapisie na dowolnym miejscu musi znaleźć się jedna z nich. Jedno miejsce mamy już obsadzone siódemką, pozostają nam już tylko cztery możliwości. Mamy więc sytuację w której cztery liczby mogą zająć jedno z czterech miejsc, a to z kolei oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia mamy 4 · 4=16 możliwości.
III grupa: Cyfry {1,3,5,9} - to pozostałe cyfry, którymi musimy obsadzić trzy pozostałe miejsca w naszej pięciocyfrowej liczbie. Pierwsze z wolnych miejsc możemy obsadzić na 4 sposoby (bo mamy cztery cyfry do wyboru), drugie miejsce także możemy obsadzić na 4 sposoby (bo liczby mogą się powtarzać), trzecie wolne miejsce także możemy obsadzić na 4 sposoby. Z reguły mnożenia wynika, że mamy 4 · 4 · 4=64 możliwości.
Teraz musimy ponownie zastosować regułę mnożenia i wymnożyć przez siebie wszystkie otrzymane możliwości, otrzymując w ten sposób:
5 · 16 · 64=5120
Istnieje więc 5120 liczb pięciocyfrowych, które spełniają warunki naszego zadania.
Kombinatoryka: Reguła mnożenia i dodawania, permutacje, kombinacje i wariacje oraz zliczanie liczb o zadanych własnościach.