Kalkulator kombinatoryczny: silnia i symbol Newtona
Kombinatoryka maturalna stoi na trzech pytaniach: czy kolejność wybranych elementów ma znaczenie, czy elementy mogą się powtarzać i ile ich wybieramy. Odpowiedzi wskazują wzór: permutacje, wariacje albo kombinacje. Symbol Newtona zlicza podzbiory, w których kolejność nie gra roli. Kalkulator wyżej podaje wynik dokładny i rozpisuje skrócenie silni.
Symbol Newtona 10 nad 2 = 45
Tyle jest 2-elementowych podzbiorów zbioru 10-elementowego.
Ten sam wynik daje symbol 10 nad 8, bo symbol Newtona jest symetryczny.
Symbol Newtona: C(10, 2) = 45
- WzórC(n, k) = n!/(k! · (n-k)!)
- PodstawienieC(10, 2) = 10!/(2! · 8!)
- Skrócenie silni= 10 · 9/(1 · 2) = 45
Jak to policzyć
- Ustal, czy kolejność ma znaczenieTo jest jedyne pytanie, które naprawdę rozdziela wzory tego działu. Kod do sejfu, ustawienie osób w kolejce i numer telefonu zależą od kolejności, więc prowadzą do wariacji albo permutacji. Skład drużyny, zestaw liczb w losowaniu i podzbiór punktów zależą tylko od tego, kto został wybrany, więc prowadzą do kombinacji.
- Sprawdź, czy element może się powtórzyćWybór ze zwracaniem oznacza, że ten sam element wraca do puli i może wystąpić kilka razy, więc liczba możliwości nie maleje z każdym krokiem. Wybór bez zwracania zmniejsza pulę o jeden po każdym losowaniu. Dokładnie ta różnica dzieli wariacje z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń.
- Podstaw do wzoru i skróć silnieSilni z licznika i mianownika nigdy nie liczy się osobno. W symbolu Newtona skraca się większa silnia z mianownika, więc zostaje iloczyn k kolejnych liczb podzielony przez k silnia. W wariacjach bez powtórzeń zostaje sam iloczyn k kolejnych liczb malejących od n. Kalkulator pokazuje to skrócenie osobnym krokiem.
- Sprawdź rząd wielkości odpowiedziZadania zamknięte z tego działu podają cztery bardzo różne liczby, więc oszacowanie rzędu wielkości często wystarczy do wskazania odpowiedzi bez pełnego rachunku. Warto też sprawdzić kierunek: kombinacji nigdy nie jest więcej niż wariacji bez powtórzeń dla tych samych n i k, a przy k co najmniej równym dwa jest ich dokładnie k silnia razy mniej, bo kombinacja nie rozróżnia kolejności.
Przykład z matury
Reguła mnożenia jest ważniejsza od wzorów
Zadania maturalne z kombinatoryki dają się rozwiązać regułą mnożenia częściej niż gotowym wzorem. Reguła mówi, że jeśli decyzję da się rozłożyć na kolejne niezależne kroki, to liczba wyników jest iloczynem liczb możliwości w każdym kroku. Trzycyfrowy kod z cyfr od 1 do 9 bez powtórzeń to 9 razy 8 razy 7, i nie trzeba wiedzieć, że jest to wariacja bez powtórzeń.
Wzory są skrótem tej samej myśli, a nie osobną wiedzą. Dlatego przy zadaniu z dodatkowym warunkiem, na przykład o parzystej ostatniej cyfrze albo o dziewiątce występującej dokładnie raz, bezpieczniej jest wrócić do reguły mnożenia i policzyć kroki w wygodnej kolejności, zamiast szukać wzoru, który obsłuży cały warunek naraz. Więcej rozpisanych przykładów znajdziesz we wpisie o permutacjach, wariacjach i kombinacjach.
Symbol Newtona i jego dwie własności
Symbol Newtona zapisywany jako n nad k oznacza liczbę k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego. Ma dwie własności, które skracają rachunek na tyle, że warto je znać na pamięć. Pierwsza to symetria: symbol dla k i symbol dla n minus k są równe, bo wybranie drużyny jest tym samym co wskazanie osób, które w drużynie nie zagrają. Dzięki temu symbol dla 20 nad 18 liczy się jak symbol dla 20 nad 2.
Druga własność to wartości brzegowe: symbol dla k równego zero i dla k równego n zawsze wynosi jeden, bo zbiór pusty i cały zbiór można wybrać tylko na jeden sposób. Obie własności wracają w zadaniach zamkniętych jako szybka droga do odpowiedzi bez liczenia silni.
Kombinatoryka jako wstęp do prawdopodobieństwa
Na maturze podstawowej kombinatoryka rzadko stoi sama. Częściej jest pierwszym krokiem zadania o prawdopodobieństwie: najpierw liczy się moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, potem moc zbioru zdarzeń sprzyjających, a dopiero na końcu dzieli się jedno przez drugie. Obie liczby wychodzą z tego samego wzoru kombinatorycznego, tylko z innymi danymi.
Warunek, o którym łatwo zapomnieć, brzmi: model musi być ten sam po obu stronach ułamka. Jeśli zbiór wszystkich wyników liczysz jako ciągi z uwzględnieniem kolejności, to zdarzenia sprzyjające też muszą być ciągami. Policzenie mianownika kombinacjami, a licznika wariacjami, daje wynik bez sensu i zero punktów. Co dokładnie się wtedy psuje i jak to rozpoznać w treści zadania, rozpisuje kalkulator prawdopodobieństwa.
| Kolejność | Powtórzenia | Nazwa | Wzór |
|---|---|---|---|
| ma znaczenie | dozwolone | wariacje z powtórzeniami | n^k |
| ma znaczenie | niedozwolone | wariacje bez powtórzeń | n!/(n-k)! |
| ma znaczenie | niedozwolone | permutacje, czyli wariacje przy k = n | n! |
| nie ma znaczenia | niedozwolone | kombinacje | C(n, k) |
Na egzaminie maturalnym wolno mieć wyłącznie kalkulator prosty. Karta wzorów CKE podaje sam wzór na symbol Newtona, a nie tablicę jego wartości ani trójkąt Pascala, więc liczbę i tak trzeba policzyć ręcznie ze skróconego ilorazu silni. To narzędzie służy do sprawdzenia własnego rachunku, a nie do zastąpienia go.
Pułapki maturalne
Wariacje policzone jako kombinacje
To jest najczęstszy błąd całego działu i widać go w kluczu odpowiedzi jako wynik k silnia razy mniejszy albo większy od poprawnego. Test jest jednozdaniowy: zamień miejscami dwa wybrane elementy i zapytaj, czy powstał nowy wynik. Jeśli tak, kolejność ma znaczenie i liczysz wariacje. Jeśli nie, liczysz kombinacje.
Zero silnia to jeden, a nie zero
Wartość zero silnia równa jeden nie jest umową bez powodu: pusty ciąg da się ustawić dokładnie na jeden sposób, a bez tej wartości wzór na symbol Newtona przestałby działać dla k równego zero i dla k równego n. Wpisanie zera w tym miejscu wywraca cały dalszy rachunek, bo w mianowniku pojawia się zero.
Warunek z zadania dołożony po policzeniu wszystkiego
Zadania w rodzaju liczby trzycyfrowej z niepowtarzającymi się cyframi, bez zera i z dziewiątką występującą dokładnie raz, rozpadają się na przypadki. Policzenie wszystkich układów i odjęcie na oko tych złych prawie zawsze daje wynik za duży, bo część układów zostaje odjęta dwa razy. Bezpieczniej jest rozbić zadanie na rozłączne przypadki i dodać wyniki.
Najczęściej zadawane pytania
Symbol Newtona n nad k to iloraz n silnia przez iloczyn k silnia i (n minus k) silnia. W praktyce skraca się silnie i zostaje iloczyn k kolejnych liczb malejących od n, podzielony przez k silnia. Dla 10 nad 2 wychodzi 10 razy 9 przez 1 razy 2, czyli 45.
W wariacjach kolejność wybranych elementów ma znaczenie, w kombinacjach nie ma. Wybór dwóch osób do dwuosobowej drużyny to kombinacja, a wybór kapitana i zastępcy spośród tych samych osób to wariacja. Dla tych samych n i k liczba wariacji równa się liczbie kombinacji pomnożonej przez k silnia, więc od k równego dwa wariacji jest już wyraźnie więcej.
Zero silnia równa się jeden. Wynika to z tego, że zbiór pusty da się ustawić w ciąg dokładnie na jeden sposób, a poza tym bez tej wartości wzór na symbol Newtona nie działałby dla wyboru zera elementów ani dla wyboru wszystkich.
Wtedy, gdy wybrany element wraca do puli i może wystąpić ponownie, a kolejność ma znaczenie. Tak liczy się kody PIN, tablice rejestracyjne i wyniki kolejnych rzutów kostką. Wzór to n do potęgi k, a liczba k może być tu większa od n, czego przy wariacjach bez powtórzeń nigdy nie ma.
Tak, w każdym arkuszu poziomu podstawowego stoi zwykle jedno lub dwa zadania z tego działu, najczęściej zamknięte i najczęściej o zliczaniu liczb naturalnych o zadanych własnościach. Ten sam aparat wraca potem w zadaniach o prawdopodobieństwie, gdzie służy do policzenia mocy zbioru zdarzeń.