Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=176√(3)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy do głównego rysunku dwie wysokości - pierwszą niech będzie wysokość trójkąta ABC oraz drugą, tym razem trójkąta ABF. Dodatkowo podpiszmy długości poszczególnych boków, a skoro jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie mamy trójkąt równoboczny, czyli więc wszystkie krawędzie podstawy mają długość 8.
Krok 2. Obliczenie długości wysokości trójkąta ABF, czyli odcinka FG.
Możemy dostrzec, że trójkąt ABF jest trójkątem równoramiennym (obydwa ramiona są przekątnymi identycznych ścian bocznych). Korzystając więc z pola trójkąta podanego w treści zadania (P=52) oraz długości podstawy trójkąta (a=8) możemy obliczyć wysokość trójkąta ABF:
P=1/2 a · h₁ 52=1/2 · 8 · h₁ 52=4h₁ h₁=13
Wysokość |FG| jest więc równa 13.
Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta ABC, czyli odcinka CG.
Jak już sobie ustaliliśmy - w podstawie jest trójkąt równoboczny o boku długości a=8. Jego wysokość możemy więc obliczyć korzystając z następującego wzoru:
h₂=a√(3)/2 h₂=8√(3)/2 h₂=4√(3)
Wysokość |CG| jest więc równa 4√(3).
Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa, czyli odcinka FC.
Do obliczenia objętości potrzebna nam jest oczywiście wysokość graniastosłupa. Wyznaczymy ją przy pomocy Twierdzenia Pitagorasa z trójkąta FCG:
|FC|²+|CG|²=|FG|² |FC|²+(4√(3))²=13² |FC|²+16 · 3=169 |FC|²+48=169 |FC|²=121 |FC|=11
Wysokość całego graniastosłupa jest więc równa H=11.
Krok 5. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny, to jego pole jest równe:
P=a²√(3)/4 P=8²√(3)/4 P=64√(3)/4 P=16√(3)
Krok 6. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie dane, tak więc możemy przystąpić do obliczenia objętości:
V=P_p · H V=16√(3) · 11 V=176√(3)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.