Punkty A = (2,11), B = (8, 23), C = (6,14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu D.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Naszkicujmy sobie układ współrzędnych i zaznaczmy w nim współrzędne punktów z treści zadania.

Najlepszą metodą na znalezienie współrzędnych punktu D będzie chyba wyznaczenie najpierw równania prostej AB, później wyznaczenie równania prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt C, no i na sam koniec rozwiązanie układu równań złożonego z tych dwóch prostych.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej AB.

Do wyznaczenia równania prostej przechodzącej przez punkt A=(x_A;y_A) oraz B=(x_B;y_B) możemy posłużyć się prostym wzorem:

(y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0

Podstawiając współrzędne punktów A=(2,11) oraz B=(8,23) otrzymamy:

(y-11)(8-2)-(23-11)(x-2)=0 (y-11) · 6-12 · (x-2)=0 6y-66-12x+24=0 6y-12x-42=0 6y=12x+42 /:6 y=2x+7

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do AB, przechodzącej przez punkt C.

Szukamy prostej prostopadłej w postaci y=ax+b. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych a musi być równy -1. Skoro więc pierwsza prosta ma a=2, to druga musi mieć:

a · 2=-1 a=-1/2

Wiemy już, że nasza prosta prostopadła przyjmuje postać y=-1/2 x+b. Aby wyznaczyć brakujący współczynnik b wystarczy podstawić współrzędne punktu C=(6;14), który przez tą prostą przechodzi. Otrzymamy wtedy:

y=-1/2 x+b 14=-1/2 · 6+b 14=-3+b b=17

To oznacza, że prosta prostopadła ma wzór y=-1/2 x+17.

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu D.

Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych są współrzędne punktu przecięcia się tych prostych. W naszym przypadku będą to poszukiwane współrzędne punktu D, zatem:

y=2x+7 y=-1/2 x+17

Korzystając z metody podstawiania, możemy podstawić wartość y=2x+7 z pierwszego równania do drugiego, otrzymując:

2x+7=-1/2 x+17 / · 2 4x+14=-x+34 5x=20 x=4

Podstawiając wartość x=4 do jednego z równań obliczymy drugą współrzędną:

y=2 · 4+7 y=8+7 y=15

Współrzędne poszukiwanego punktu to w takim razie D=(4;15).