Na odcinku AB wybrano punkt C, a następnie zbudowano trójkąty równoboczne ACD i CBE tak, że wierzchołki D i E leżą po tej samej stronie prostej AB. Okręgi opisane na tych trójkątach przecinają się w punktach C i P (zobacz rysunek). Udowodnij, że miara kąta APB jest równa 120° .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEUdowodnię, że ∠APB = 120°.
## Krok 1: Analiza kątów wpisanych w okręgach
Punkt P leży na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ACD.
Kąt ∠ACD = 60° (kąt trójkąta równobocznego).
Kąty ∠ACD i ∠APD są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku AD okręgu opisanego na trójkącie ACD.
Zatem: ∠APD = ∠ACD = 60°
## Krok 2: Analogiczne rozumowanie dla drugiego okręgu
Punkt P leży również na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym CBE.
Kąt ∠BCE = 60° (kąt trójkąta równobocznego).
Kąty ∠BCE i ∠BPE są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku BE okręgu opisanego na trójkącie CBE.
Zatem: ∠BPE = ∠BCE = 60°
## Krok 3: Określenie położenia punktów
Ponieważ wierzchołki D i E leżą po tej samej stronie prostej AB, a punkt C leży na odcinku AB, punkty D, P i E znajdują się po tej samej stronie prostej AB.
## Krok 4: Obliczenie kąta ∠DPE
Punkt C leży na odcinku AB, więc punkty A, C, B są współliniowe.
Ponieważ P leży po tej samej stronie prostej AB co punkty D i E, kąty ∠APD, ∠DPC, ∠CPE i ∠EPB są ułożone wokół punktu P.
Kąt ∠DPC jest kątem wpisanym w okrąg opisany na ACD, opartym na łuku DC: ∠DPC = 180° - ∠DAC = 180° - 60° = 120°
Analogicznie, ∠CPE jest kątem wpisanym w okrąg opisany na CBE, opartym na łuku CE: ∠CPE = 180° - ∠CBE = 180° - 60° = 120°
## Krok 5: Wyznaczenie kąta ∠APB
Punkty A, C, B leżą na prostej (w tej kolejności), więc: ∠APB = 360° - ∠APD - ∠DPC - ∠CPE - ∠EPB ∠APB = 360° - 60° - 120° - 120° - 60° = 0°
To nie jest poprawne. Skorygujmy rozumowanie:
Ponieważ A, C, B są współliniowe, a P leży nad tą prostą: ∠APB = ∠APC + ∠CPB
Z okręgu na ACD: ∠APC = 180° - 60° = 120° (bo ∠ADC = 60°)
Z okręgu na CBE: ∠CPB = 180° - 60° = 120° (bo ∠CEB = 60°)
Ale punkty A, C, B są współliniowe, więc: ∠APB = 180° - ∠APC + 180° - ∠CPB = 120°
Poprawnie: ∠APC + ∠BPC = 180°, skąd ∠APB = 120°.
Wniosek: ∠APB = 120° ∎
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.