Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 2√(5). Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta jest o 4 dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Oblicz wysokość tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: h=8√(5)/5
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-27.png]
Oznaczmy przyprostokątne trójkąta jako a i b, gdzie b = a + 4.
## Krok 2: Znajdź przeciwprostokątną
W trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego jest równy połowie przeciwprostokątnej:
R = c/2
gdzie c to przeciwprostokątna.
Mamy R = 2√(5), więc:
c = 2R = 2 · 2√(5) = 4√(5)
## Krok 3: Zastosuj twierdzenie Pitagorasa
Z twierdzenia Pitagorasa:
a² + b² = c²
Podstawiamy b = a + 4 i c = 4√(5):
a² + (a+4)² = (4√(5))²
a² + a² + 8a + 16 = 80
2a² + 8a + 16 = 80
2a² + 8a - 64 = 0
a² + 4a - 32 = 0
## Krok 4: Rozwiąż równanie kwadratowe
Δ= 16 + 128 = 144
a = (-4 ± 12)/2
Ponieważ a > 0:
a = (-4 + 12)/2 = 4
Zatem: b = a + 4 = 8
## Krok 5: Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną
Pole trójkąta można obliczyć na dwa sposoby:
P = 1/2 · a · b = 1/2 · c · h
gdzie h to wysokość opuszczona na przeciwprostokątną.
1/2 · 4 · 8 = 1/2 · 4√(5) · h
16 = 2√(5) · h
h = 16/(2√(5)) = 8/√(5)
## Krok 6: Zracjonalizuj mianownik
h = 8/√(5) · √(5)/√(5) = 8√(5)/5
Odpowiedź: h = 8√(5)/5
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.