Punkty A = (-3, 4) i C = (1,3) są wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną BD tego kwadratu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: y=4x+15/2
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-22.png]
Mamy kwadrat ABCD, gdzie znamy dwa wierzchołki: A = (-3, 4) i C = (1, 3).
Krok 2: Ustalenie, które wierzchołki mamy
Ponieważ zadanie mówi o przekątnej BD, a znamy punkty A i C, to A i C są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu (leżą na jednej przekątnej AC).
Krok 3: Środek kwadratu
Przekątne kwadratu przecinają się w jego środku. Znajdźmy środek S przekątnej AC:
S = ((-3+1)/2, (4+3)/2) = (-1, 7/2)
Krok 4: Wektor przekątnej AC
AC = [1-(-3), 3-4] = [4, -1]
Krok 5: Kierunek przekątnej BD
W kwadracie przekątne są prostopadłe. Jeśli AC = [4, -1], to wektor prostopadły otrzymamy zamieniając współrzędne i zmieniając znak jednej z nich:
BD = [1, 4]
(Sprawdzenie: 4 · 1 + (-1) · 4 = 4 - 4 = 0 ✓)
Krok 6: Równanie prostej BD
Prosta BD przechodzi przez środek S = (-1, 7/2) i ma kierunek [1, 4].
Współczynnik kierunkowy: a = 4/1 = 4
Równanie prostej w postaci kierunkowej:
y - 7/2 = 4(x - (-1))
y - 7/2 = 4(x + 1)
y - 7/2 = 4x + 4
y = 4x + 4 + 7/2
y = 4x + 8/2 + 7/2
y = 4x + 15/2
Odpowiedź: Równanie prostej zawierającej przekątną BD to y = 4x + 15/2
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.