Piramida Cheopsa ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Każda ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 52° , a pole powierzchni ściany bocznej jest równe 21 550 m 2 . Oblicz objętość piramidy. Wynik zapisz w postaci a · 10k, gdzie 1 ≤ a < 10 i k jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 2,61 · 10⁶
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-30.png]
## Dane i oznaczenia
- Ostrosłup prawidłowy czworokątny z podstawą o boku a - Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy: α= 52° - Pole ściany bocznej: P_(śc) = 21 550 m²
Oznaczmy: - a - długość boku podstawy - h - wysokość ostrosłupa - s - wysokość ściany bocznej (apotema)
## Krok 2: Znajdowanie zależności między wymiarami
Ściana boczna to trójkąt równoramienny. Jego pole: P_(śc) = 1/2 · a · s = 21 550
Stąd: a · s = 43 100 ...(1)
## Krok 3: Związek kąta nachylenia z wysokością
Kąt nachylenia ściany bocznej mierzymy między wysokością ściany s a jej rzutem na podstawę.
Rzut wysokości ściany na podstawę ma długość a/2 (odległość od środka podstawy do środka boku).
Z trójkąta prostokątnego: tan(52°) = h/(a/2) = 2h/a
Zatem: h = a · tan(52°)/2 ...(2)
## Krok 4: Związek między s, h i a
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (wysokość ostrosłupa, rzut wysokości ściany, wysokość ściany): s² = h² + (a/2)²
Podstawiając h z równania (2): s² = (a · tan(52°)/2)² + a²/4
s² = a² · tan²(52°)/4 + a²/4 = a²/4(tan²(52°) + 1)
s² = a²/4 · 1/cos²(52°)
s = a/(2cos(52°)) ...(3)
## Krok 5: Obliczanie a
Z równań (1) i (3): a · a/(2cos(52°)) = 43 100
a²/(2cos(52°)) = 43 100
a² = 86 200 · cos(52°)
Dla cos(52°) ≈ 0,6157: a² = 86 200 · 0,6157 ≈ 53 073
a ≈ 230,4 m
## Krok 6: Obliczanie wysokości h
Z równania (2), gdzie tan(52°) ≈ 1,2799: h = 230,4 · 1,2799/2 ≈ 147,4 m
## Krok 7: Obliczanie objętości
Objętość ostrosłupa: V = 1/3 · a² · h
V = 1/3 · 53 073 · 147,4
V = 1/3 · 7 822 958 ≈ 2 607 653 m³
V ≈ 2,61 · 10⁶ m³
Odpowiedź: 2,61 · 10⁶ m³
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.