Do zbiornika można doprowadzić wodę dwiema rurami. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 5 godzin i 30 minut krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą, natomiast 15 godzin trwa napełnienie tego zbiornika obiema rurami jednocześnie. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 27,5 godziny
Oznaczmy przez t czas (w godzinach) napełniania zbiornika pierwszą rurą.
## Analiza danych
- Pierwsza rura napełnia zbiornik w czasie: t godzin - Druga rura napełnia zbiornik w czasie: t + 5,5 godzin (bo o 5h 30min = 5,5h dłużej) - Obie rury razem napełniają zbiornik w czasie: 15 godzin
## Wydajności rur
Przyjmijmy pojemność zbiornika za 1 (całość).
Wydajność to część zbiornika napełniana w ciągu 1 godziny: - Wydajność pierwszej rury: 1/t zbiornika na godzinę - Wydajność drugiej rury: 1/(t+5,5) zbiornika na godzinę - Wydajność obu rur razem: 1/15 zbiornika na godzinę
## Równanie
Gdy obie rury pracują jednocześnie, ich wydajności się sumują:
1/t + 1/(t+5,5) = 1/15
## Rozwiązanie równania
Mnożymy obie strony przez 15t(t+5,5):
15(t+5,5) + 15t = t(t+5,5)
15t + 82,5 + 15t = t² + 5,5t
30t + 82,5 = t² + 5,5t
0 = t² + 5,5t - 30t - 82,5
t² - 24,5t - 82,5 = 0
Mnożymy przez 2, aby pozbyć się ułamków dziesiętnych:
2t² - 49t - 165 = 0
Korzystamy ze wzoru na deltę:
Δ= (-49)² - 4 · 2 · (-165) = 2401 + 1320 = 3721 = 61²
t = (49 ± 61)/4
Dwa rozwiązania: - t = (49 + 61)/4 = 110/4 = 27,5 - t = (49 - 61)/4 = -12/4 = -3 (odrzucamy jako ujemne)
## Sprawdzenie
Dla t = 27,5: - Pierwsza rura: 1/27,5 zbiornika/h - Druga rura: 1/33 zbiornika/h - Razem: 1/27,5 + 1/33 = 2/55 + 1/33 = 6/165 + 5/165 = 11/165 = 1/15 ✓
Odpowiedź: Zbiornik zostanie napełniony pierwszą rurą w ciągu 27,5 godziny.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.