Punkt S jest środkiem wysokości CD trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|=5 oraz |CD|=4 (zobacz rysunek). Odległość punktu S od ramienia tego trójkąta jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.6/5
- B.3/2
- C.12/5
- D.5/2
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.
## Analiza sytuacji
Trójkąt ABC jest równoramienny z |AC| = |BC| = 5. Wysokość CD opuszczona na podstawę AB ma długość |CD| = 4. Punkt S jest środkiem odcinka CD, więc |CS| = |SD| = 2.
## Układ współrzędnych
Umieszczam trójkąt w układzie współrzędnych: - Punkt D (podstawa wysokości) w początku układu: D = (0, 0) - Punkt C (wierzchołek) na osi y: C = (0, 4) - Podstawa AB leży na osi x
## Znajdowanie punktu A
Ponieważ CD jest wysokością, punkt A leży na osi x: A = (a, 0) dla pewnego a > 0.
Z warunku |AC| = 5:
|AC|² = a² + 4² = 25
a² = 25 - 16 = 9
a = 3
Zatem A = (3, 0).
Z symetrii trójkąta równoramiennego: B = (-3, 0).
## Położenie punktu S
Punkt S jest środkiem CD:
S = (0, (0 + 4)/2) = (0, 2)
## Odległość od ramienia AC
Wyznacza się równanie prostej AC przechodzącej przez A = (3, 0) i C = (0, 4).
Postać odcinkowa: x/3 + y/4 = 1
Postać ogólna: 4x + 3y - 12 = 0
## Obliczenie odległości
Odległość punktu S = (0, 2) od prostej 4x + 3y - 12 = 0:
d = (|4 · 0 + 3 · 2 - 12|)/(√(4² + 3²)) = (|0 + 6 - 12|)/(√(16 + 9)) = (|-6|)/√(25) = 6/5
## Weryfikacja
Z symetrii trójkąta, odległość od ramienia BC będzie taka sama.
Odpowiedź: A
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.