W pojemniku jest osiem kul ponumerowanych od 1 do 8, przy czym kule z numerami, których reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1 są białe, a pozostałe kule są czarne. Losujemy z pojemnika jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 35.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P(A)=9/28
## Krok 1: Określenie kolorów kul
Kule białe to te, których numer przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1: - Numery: 1, 4, 7 - Kule białe: 1, 4, 7 (3 kule)
Kule czarne to pozostałe: - Numery: 2, 3, 5, 6, 8 - Kule czarne: 2, 3, 5, 6, 8 (5 kul)
## Krok 2: Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Losujemy jednocześnie 2 kule z 8: |Ω| = C(8, 2) = 8 · 7/2 = 28
## Krok 3: Warunki zdarzenia A
Szukamy par spełniających: 1. Kule są różnych kolorów (jedna biała, jedna czarna) 2. Iloczyn numerów: 6 < ab ≤ 35
## Krok 4: Wszystkie możliwe pary różnych kolorów
Musimy wybrać jedną kulę białą i jedną czarną: Liczba takich par = 3 · 5 = 15
## Krok 5: Sprawdzenie warunku na iloczyn
Sprawdzamy każdą parę (biała, czarna):
Biała kula nr 1: - 1 · 2 = 2 ❌ (nie większe od 6) - 1 · 3 = 3 ❌ - 1 · 5 = 5 ❌ - 1 · 6 = 6 ❌ - 1 · 8 = 8 ✓
Biała kula nr 4: - 4 · 2 = 8 ✓ - 4 · 3 = 12 ✓ - 4 · 5 = 20 ✓ - 4 · 6 = 24 ✓ - 4 · 8 = 32 ✓
Biała kula nr 7: - 7 · 2 = 14 ✓ - 7 · 3 = 21 ✓ - 7 · 5 = 35 ✓ - 7 · 6 = 42 ❌ (większe od 35) - 7 · 8 = 56 ❌
## Krok 6: Zliczenie par spełniających warunki
Pary spełniające warunek 6 < ab ≤ 35: - Z kulą białą 1: 1 para - Z kulą białą 4: 5 par - Z kulą białą 7: 3 pary
|A| = 1 + 5 + 3 = 9
## Krok 7: Obliczenie prawdopodobieństwa
P(A) = |A|/|Ω| = 9/28
Odpowiedź: P(A) = 9/28
Prawdopodobieństwo: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, drzewa stochastyczne, zdarzenia przeciwne i doświadczenia losowe z arkuszy maturalnych.