Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność x²+xy+y² ≥ 2x+2y-4
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrzekształca się nierówność do postaci, w której łatwiej będzie udowodnić jej prawdziwość.
Krok 1: Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę
x² + xy + y² ≥ 2x + 2y - 4
x² + xy + y² - 2x - 2y + 4 ≥ 0
Trzeba udowodnić, że lewa strona jest zawsze nieujemna.
Krok 2: Grupowanie wyrazów
Przekształca się lewą stronę, wykorzystując metodę dopełniania do kwadratu:
x² - 2x + xy + y² - 2y + 4 ≥ 0
Grupuję wyrazy zawierające x:
x² + xy - 2x + y² - 2y + 4 ≥ 0
Krok 3: Traktowanie jako funkcja kwadratowa względem x
Traktuję to jako funkcję kwadratową f(x) = x² + x(y-2) + (y² - 2y + 4).
Funkcja kwadratowa z dodatnim współczynnikiem przy x² jest nieujemna dla wszystkich x wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik Δ ≤ 0.
Krok 4: Obliczenie wyróżnika
Δ= (y-2)² - 4 · 1 · (y² - 2y + 4)
Δ= y² - 4y + 4 - 4y² + 8y - 16
Δ= -3y² + 4y - 12
Krok 5: Sprawdzenie znaku wyróżnika
Trzeba pokazać, że -3y² + 4y - 12 ≤ 0 dla wszystkich y.
-3y² + 4y - 12 ≤ 0
3y² - 4y + 12 ≥ 0
Oblicza się wyróżnik tego wyrażenia:
Δ' = 16 - 4 · 3 · 12 = 16 - 144 = -128 < 0
Ponieważ współczynnik przy y² jest dodatni (równy 3) i Δ' < 0, to wyrażenie 3y² - 4y + 12 jest zawsze dodatnie dla wszystkich y ∈ R.
Krok 6: Wnioskowanie
Skoro Δ= -3y² + 4y - 12 < 0 dla wszystkich y, to funkcja f(x) = x² + x(y-2) + (y² - 2y + 4) jest zawsze dodatnia dla wszystkich x i y.
Zatem: x² + xy + y² - 2x - 2y + 4 ≥ 0
co oznacza, że: x² + xy + y² ≥ 2x + 2y - 4
dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. □
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.