Kąty ostre α i β trójkąta prostokątnego spełniają warunek sin² α+sin²β+tg²α=4 . Wyznacz miarę kąta α.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: α=60°
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-23.png]
Skoro α i β są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to:
α+ β= 90°
Zatem β= 90° - α, co oznacza:
sin β= sin(90° - α) = cos α
Podstawia się do danego równania:
sin² α+ sin² β+ tg² α= 4
sin² α+ cos² α+ tg² α= 4
Korzysta się z jedynki trygonometrycznej sin² α+ cos² α= 1:
1 + tg² α= 4
tg² α= 3
tg α= √(3)
(biorę wartość dodatnią, bo α jest kątem ostrym)
Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów specjalnych:
tg 60° = √(3)
Sprawdzenie:
Dla α= 60° mamy β= 30°: - sin 60° = √(3)/2, więc sin² 60° = 3/4 - sin 30° = 1/2, więc sin² 30° = 1/4 - tg² 60° = 3
Suma: 3/4 + 1/4 + 3 = 1 + 3 = 4 ✓
Odpowiedź: α= 60°
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.