Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6, a kąt nachylenia jego przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy 60° . Długość tej przekątnej jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.3
- B.√(3)
- C.2√(3)
- D.4√(3)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-15.png]
Oznaczmy: - a – długość krawędzi podstawy - H = 6 – wysokość graniastosłupa - d – długość przekątnej graniastosłupa - α= 60° – kąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy
Krok 2: Analiza geometryczna
Przekątna graniastosłupa łączy dwa przeciwległe wierzchołki (jeden w dolnej, drugi w górnej podstawie). Rzut tej przekątnej na płaszczyznę podstawy jest przekątną kwadratu.
Krok 3: Przekątna podstawy
Dla kwadratu o boku a, długość przekątnej wynosi: d_(podst) = a√(2)
Krok 4: Związek trygonometryczny
Przekątna graniastosłupa, jej rzut na podstawę i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, gdzie: - przyprostokątna pionowa: H = 6 - przyprostokątna pozioma: d_(podst) = a√(2) - przeciwprostokątna: d
Kąt 60° jest między przekątną d a podstawą, więc: tan(60°) = H/d_(podst)
Krok 5: Obliczenie przekątnej podstawy
√(3) = 6/d_(podst)
d_(podst) = 6/√(3) = 6√(3)/3 = 2√(3)
Krok 6: Obliczenie przekątnej graniastosłupa
Z twierdzenia Pitagorasa: d² = H² + d_(podst)²
d² = 6² + (2√(3))² = 36 + 12 = 48
d = √(48) = √(16 · 3) = 4√(3)
Odpowiedź: D
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.