Trójkąt o wierzchołkach A=(-6,0), B=(6,4) i C=(-3,-8) przekształcono przez symetrię środkową względem początku układu współrzędnych i otrzymano trójkąt A₁B₁C₁. Oblicz sumę kątów wewnętrznych wielokąta, który jest częścią wspólną trójkąta ABC i jego obrazu, tj. A₁B₁C₁.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 720°
Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.
## Krok 1: Znajdźmy współrzędne wierzchołków trójkąta A₁B₁C₁
Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych przekształca punkt (x, y) na punkt (-x, -y).
A₁ = (6, 0) B₁ = (-6, -4) C₁ = (3, 8)
## Krok 2: Sprawdźmy wzajemne położenie trójkątów
Trójkąt ABC ma wierzchołki: A=(-6,0), B=(6,4), C=(-3,-8)
Trójkąt A₁B₁C₁ ma wierzchołki: A₁=(6,0), B₁=(-6,-4), C₁=(3,8)
## Krok 3: Znajdźmy równania boków trójkątów
Szukamy punktów przecięcia boków obu trójkątów.
Bok AB: od (-6,0) do (6,4) Równanie: y = (4-0)/(6-(-6))(x+6) = 1/3(x+6) = x/3 + 2
Bok A₁B₁: od (6,0) do (-6,-4) Równanie: y = (-4-0)/(-6-6)(x-6) = -4/-12(x-6) = x/3 - 2
Bok BC: od (6,4) do (-3,-8) Równanie: y = (-8-4)/(-3-6)(x-6) = -12/-9(x-6) = 4/3(x-6) = 4x/3 - 8
Bok B₁C₁: od (-6,-4) do (3,8) Równanie: y = (8-(-4))/(3-(-6))(x+6) = 12/9(x+6) = 4/3(x+6) = 4x/3 + 8
## Krok 4: Znajdźmy punkty przecięcia
Część wspólna powstaje z przecięć boków obu trójkątów.
Przecięcie AB i A₁B₁: x/3 + 2 = x/3 - 2 Równanie sprzeczne - boki są równoległe.
Przecięcie AB i B₁C₁: x/3 + 2 = 4x/3 + 8 x/3 - 4x/3 = 6 -x = 6 x = -6, y = 0 Punkt A = (-6, 0) ✓
Przecięcie BC i A₁B₁: 4x/3 - 8 = x/3 - 2 3x/3 = 6 x = 6, y = 0 Punkt A₁ = (6, 0) ✓
Przecięcie BC i B₁C₁: 4x/3 - 8 = 4x/3 + 8 Równanie sprzeczne - boki są równoległe.
## Krok 5: Analiza wielokąta
Ze względu na symetrię środkową i przecięcia boków, część wspólna to sześciokąt. Symetria środkowa oraz fakt, że mamy dwie pary równoległych boków (AB∥A₁B₁ i BC∥B₁C₁) sugerują, że wielokąt ma 6 wierzchołków.
## Krok 6: Suma kątów wewnętrznych
Dla wielokąta o n wierzchołkach suma kątów wewnętrznych wynosi: S = (n-2) · 180°
Dla sześciokąta (n = 6): S = (6-2) · 180° = 4 · 180° = 720°
Odpowiedź: 720°
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.