Punkt M=(2,1) jest środkiem boku AB, a punkt N=(8,3) to środek boku BC kwadratu ABCD. Oblicz długość boku kwadratu ABCD.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 4√(5)
Rozwiązuje się zadanie wykorzystując własności środków boków kwadratu.
Krok 1: Ustalenie położenia punktów
Oznaczmy wierzchołki kwadratu: A, B, C, D (w kolejności).
Dane: - M = (2, 1) - środek boku AB - N = (8, 3) - środek boku BC
Krok 2: Wyrażenie współrzędnych wierzchołków
Niech A = (x_A, y_A), B = (x_B, y_B), C = (x_C, y_C).
Ze wzoru na środek odcinka:
M = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2) = (2, 1)
N = ((x_B + x_C)/2, (y_B + y_C)/2) = (8, 3)
Krok 3: Wprowadzenie wektorów
Niech AB = (p, q) - wektor boku AB.
Wtedy B = A + AB, czyli: M = A + 1/2AB = (x_A + p/2, y_A + q/2) = (2, 1)
W kwadracie bok BC jest prostopadły do AB i ma tę samą długość.
Wektor prostopadły do (p, q) to (-q, p), zatem: BC = (-q, p)
Krok 4: Wyrażenie punktu N
N = B + 1/2BC = A + AB + 1/2BC
N = A + (p, q) + 1/2(-q, p) = A + (p - q/2, q + p/2)
N = (x_A + p - q/2, y_A + q + p/2) = (8, 3)
Krok 5: Układ równań
Z punktu M: - x_A + p/2 = 2 → x_A = 2 - p/2 - y_A + q/2 = 1 → y_A = 1 - q/2
Z punktu N: - x_A + p - q/2 = 8 - y_A + q + p/2 = 3
Krok 6: Podstawienie i rozwiązanie
Podstawia się x_A = 2 - p/2 do pierwszego równania z N:
2 - p/2 + p - q/2 = 8
2 + p/2 - q/2 = 8
p - q = 12 ...(1)
Podstawia się y_A = 1 - q/2 do drugiego równania z N:
1 - q/2 + q + p/2 = 3
1 + q/2 + p/2 = 3
p + q = 4 ...(2)
Krok 7: Rozwiązanie układu
Dodaje się równania (1) i (2): 2p = 16 p = 8
Z równania (2): q = 4 - 8 = -4
Krok 8: Obliczenie długości boku
Długość boku kwadratu to długość wektora AB = (8, -4):
|AB| = √(8² + (-4)²) = √(64 + 16) = √(80) = √(16 · 5) = 4√(5)
Odpowiedź: Długość boku kwadratu wynosi 4√(5).
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.