Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie C. W trójkątach ABC i CDE zachodzą związki: |∢CAB|=|∢CED|, |AC|=5, |BC|=3, |CE|=10 (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty ABC i CDE są podobne. Oblicz długość boku CD.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 6
Rozwiązujemy krok po kroku.
## Krok 1: Analiza danych
Mamy dane: - |AC| = 5 - |BC| = 3 - |CE| = 10 - |∠CAB| = |∠CED|
## Krok 2: Wykazanie podobieństwa trójkątów
Zauważmy, że kąty wierzchołkowe przy punkcie C są równe:
|∠ACB| = |∠DCE|
(jako kąty wierzchołkowe)
Mamy więc: - |∠CAB| = |∠CED| (z treści zadania) - |∠ACB| = |∠DCE| (kąty wierzchołkowe)
Na podstawie cechy kąt-kąt (kk) trójkąty ABC i CDE są podobne:
△ABC △CDE
## Krok 3: Ustalenie odpowiedniości wierzchołków
Z podobieństwa △ABC △CDE wynika odpowiedniość: - A C - B D - C E
## Krok 4: Wyznaczenie skali podobieństwa
Z podobieństwa trójkątów mamy proporcję odpowiadających sobie boków:
|AC|/|CE| = |BC|/|CD| = |AB|/|DE|
Podstawiamy znane wartości:
5/10 = 3/|CD|
1/2 = 3/|CD|
## Krok 5: Obliczenie długości CD
Z proporcji:
|CD| = 3 · 2 = 6
## Sprawdzenie
Skala podobieństwa wynosi k = |CE|/|AC| = 10/5 = 2.
Rzeczywiście: |CD| = k · |BC| = 2 · 3 = 6 ✓
Odpowiedź: Długość boku CD wynosi 6.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.