Prosta y = 0 jest osią symetrii figury złożonej z dwóch prostych o równaniach y=(p+2)x-q i y=(q-5)x+2p. Wyznacz p i q. Narysuj te proste w układzie współrzędnych.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: p=1, q=2
## Analiza warunku symetrii
Prosta y = 0 (oś Ox) jest osią symetrii figury złożonej z dwóch prostych. Oznacza to, że te proste są symetryczne względem osi Ox.
Dwie proste są symetryczne względem osi Ox, gdy: - mają przeciwne współczynniki kierunkowe (nachylenia) - mają przeciwne wyrazy wolne
## Wypisanie warunków
Dla prostych: - y₁ = (p+2)x - q - współczynnik kierunkowy: a₁ = p+2, wyraz wolny: b₁ = -q - y₂ = (q-5)x + 2p - współczynnik kierunkowy: a₂ = q-5, wyraz wolny: b₂ = 2p
Warunki symetrii względem osi Ox:
a₁ = -a₂
b₁ = -b₂
## Podstawienie do warunków
Z pierwszego warunku: p + 2 = -(q - 5) p + 2 = -q + 5 p + q = 3
Z drugiego warunku: -q = -2p q = 2p
## Rozwiązanie układu równań
Mamy układ: p + q = 3 q = 2p
Podstawiamy drugie równanie do pierwszego: p + 2p = 3 3p = 3 p = 1
Zatem: q = 2 · 1 = 2
## Sprawdzenie
Dla p = 1 i q = 2: - Prosta 1: y = (1+2)x - 2 = 3x - 2 - Prosta 2: y = (2-5)x + 2 · 1 = -3x + 2
Sprawdzenie symetrii: - Współczynniki kierunkowe: 3 i -3 ✓ (przeciwne) - Wyrazy wolne: -2 i 2 ✓ (przeciwne)
## Wykres
``` y | 2 |-------●------- | /: 1 | / : | / : ---+---/---+------+--- x -1 | / : | | / : | -2 |●------:------● | 0 ```
Na wykresie: - Prosta 1 (niebieska): y = 3x - 2 - przecina oś Oy w punkcie (0, -2) - przecina oś Ox w punkcie (2/3, 0)
- Prosta 2 (czerwona): y = -3x + 2 - przecina oś Oy w punkcie (0, 2) - przecina oś Ox w punkcie (2/3, 0)
Obie proste przecinają się na osi Ox w tym samym punkcie i są symetryczne względem osi Ox.
Odpowiedź: p = 1, q = 2
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.