Na rysunku przedstawiono trapez ABCD oraz zaznaczono wysokości DE i CF tego trapezu. Punkt F jest środkiem podstawy AB, a punkt E dzieli tę podstawę w stosunku 2:5. Wykaż, że punkt przecięcia wysokości CF z przekątną DB dzieli tę przekątną w stosunku 3:7, licząc od wierzchołka D.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że punkt dzieli przekątną w stosunku 3:7
Wprowadza się układ współrzędnych z początkiem w punkcie A, osią x wzdłuż podstawy AB.
## Ustalenie współrzędnych punktów
Niech |AB| = a. Ponieważ F jest środkiem AB: F = (a/2, 0)
Punkt E dzieli AB w stosunku 2:5, więc: |AE| : |EB| = 2:5 |AE| = 2/7 a, E = (2a/7, 0)
Wysokości DE i CF są prostopadłe do AB, więc są pionowe: - D leży nad E: D = (2a/7, h) dla pewnej wysokości h > 0 - C leży nad F: C = (a/2, h)
Punkt B ma współrzędne: B = (a, 0)
## Weryfikacja, że ABCD jest trapezem
Podstawy trapezu to AB i DC.
Wektor DC: DC = C - D = (a/2 - 2a/7, 0) = (3a/14, 0)
Wektor AB: AB = (a, 0)
Wektory są równoległe (oba poziome), więc DC ∥ AB. ✓
## Równanie przekątnej DB
Przekątna DB łączy punkty D = (2a/7, h) i B = (a, 0).
Parametryzacja odcinka DB: P(t) = D + t(B - D) = (2a/7, h) + t(5a/7, -h) P(t) = (2a/7 + 5at/7, h(1-t)), t ∈ [0,1]
## Równanie wysokości CF
Wysokość CF to pionowa prosta przez F: x = a/2
## Punkt przecięcia K
Punkt K przecięcia CF z DB spełnia: 2a/7 + 5at/7 = a/2
(2 + 5t)/7 = 1/2
2(2 + 5t) = 7
4 + 10t = 7
t = 3/10
## Stosunek podziału
Dla t = 3/10 punkt K dzieli odcinek DB: |DK| : |KB| = t : (1-t) = 3/10 : 7/10 = 3:7
## Wniosek
Punkt przecięcia wysokości CF z przekątną DB dzieli tę przekątną w stosunku 3:7, licząc od wierzchołka D. ∎
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.