Punkt P leży wewnątrz trójkąta o wierzchołkach A=(6,0), B=(0,4), C=(0,0). Oznaczmy przez P_(AC) obraz punktu P w symetrii osiowej względem prostej AC, a przez P_(BC) obraz punktu P w symetrii osiowej względem prostej BC. Uzasadnij, że punkty P_(AC), C i P_(BC) leżą na jednej prostej.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że punkty P_(AC), C i P_(BC) leżą na jednej prostej
Rozwiązam to zadanie, analizując położenie punktów symetrycznych względem boków trójkąta.
## Analiza sytuacji
Trójkąt ma wierzchołki: - C = (0,0) - początek układu współrzędnych - A = (6,0) - na osi OX - B = (0,4) - na osi OY
Boki trójkąta to: - AC leży na osi OX - BC leży na osi OY
## Kluczowa obserwacja
Punkt C jest wspólnym wierzchołkiem boków AC i BC, a te boki są prostopadłe (kąt przy C wynosi 90°).
## Symetria względem AC
Prosta AC to oś OX (równanie: y = 0).
Dla punktu P = (x, y), jego obraz w symetrii względem osi OX to: P_(AC) = (x, -y)
## Symetria względem BC
Prosta BC to oś OY (równanie: x = 0).
Dla punktu P = (x, y), jego obraz w symetrii względem osi OY to: P_(BC) = (-x, y)
## Sprawdzenie współliniowości
Punkty P_(AC), C i P_(BC) leżą na jednej prostej, jeśli wektory CP_(AC) i CP_(BC) są równoległe.
Oblicza się wektory: CP_(AC) = P_(AC) - C = (x, -y) - (0, 0) = (x, -y)
CP_(BC) = P_(BC) - C = (-x, y) - (0, 0) = (-x, y)
## Warunek równoległości
Wektory są równoległe, gdy: CP_(BC) = λ · CP_(AC)
Sprawdza się: (-x, y) = λ(x, -y)
Z pierwszej współrzędnej: -x = λx, więc λ= -1
Z drugiej współrzędnej: y = λ(-y) = -(-y) = y ✓
Otrzymujemy λ= -1, co oznacza, że: CP_(BC) = -CP_(AC)
## Geometryczna interpretacja
Ponieważ CP_(BC) = -CP_(AC), punkty P_(AC) i P_(BC) leżą po przeciwnych stronach punktu C na tej samej prostej.
Wniosek: Punkty P_(AC), C i P_(BC) leżą na jednej prostej dla dowolnego punktu P wewnątrz trójkąta ABC. Co więcej, punkt C jest środkiem odcinka P_(AC)P_(BC).
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.