Dany jest trapez równoramienny ABCD, niebędący równoległobokiem, w którym AB||CD oraz A=(-9,7), B=(3,1), D=(-3,10). Trapez A₁B₁C₁D₁ jest obrazem trapezu ABCD w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wierzchołków trapezu A₁B₁C₁D₁ oraz równanie osi symetrii tego trapezu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: y=2x-10
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-92.png]
## Krok 2: Znajdowanie wierzchołka C trapezu ABCD
Trapez jest równoramienny, więc |AD| = |BC|.
Oblicza się długość ramienia AD: |AD| = √((-3-(-9))² + (10-7)²) = √(6² + 3²) = √(36 + 9) = √(45) = 3√(5)
Ponieważ AB ∥ CD, wektor AB jest równoległy do DC.
AB = (3-(-9), 1-7) = (12, -6)
Punkt C spełnia warunek: DC = k · AB = k(12, -6)
dla pewnego k > 0 (oraz k ≠ 1, bo trapez nie jest równoległobokiem).
Jeśli C = (x, y), to: DC = (x-(-3), y-10) = (x+3, y-10) = (12k, -6k)
Zatem: - x = 12k - 3 - y = -6k + 10
Z warunku |BC| = |AD| = 3√(5): |BC|² = (x-3)² + (y-1)² = 45
Podstawia się: (12k-3-3)² + (-6k+10-1)² = 45 (12k-6)² + (-6k+9)² = 45 144k² - 144k + 36 + 36k² - 108k + 81 = 45 180k² - 252k + 117 = 45 180k² - 252k + 72 = 0 15k² - 21k + 6 = 0 5k² - 7k + 2 = 0
k = (7 ± √(49-40))/10 = (7 ± 3)/10
Mamy k = 1 lub k = 2/5.
Ponieważ trapez nie jest równoległobokiem, k = 2/5.
Zatem: C = (12 · 2/5 - 3, -6 · 2/5 + 10) = (24/5 - 3, -12/5 + 10) = (-3/5, 38/5)
## Krok 3: Wyznaczanie wierzchołków trapezu A₁B₁C₁D₁
Symetria środkowa względem O(0,0) przekształca punkt (x,y) w punkt (-x,-y).
A₁ = (9, -7) B₁ = (-3, -1) C₁ = (3/5, -38/5) D₁ = (3, -10)
## Krok 4: Wyznaczanie osi symetrii trapezu A₁B₁C₁D₁
Oś symetrii trapezu równoramiennego przechodzi przez środki podstaw.
Środek podstawy A₁B₁: S₁ = ((9+(-3))/2, (-7+(-1))/2) = (3, -4)
Środek podstawy C₁D₁: S₂ = ((3/5+3)/2, (-38/5+(-10))/2) = (18/5/2, -88/5/2) = (9/5, -44/5)
Oś symetrii przechodzi przez punkty S₁(3, -4) i S₂(9/5, -44/5).
Współczynnik kierunkowy: a = (-44/5-(-4))/(9/5-3) = (-44/5+20/5)/(9/5-15/5) = -24/5/(-6/5) = 2
Równanie prostej przez S₁(3, -4) o współczynniku a=2: y - (-4) = 2(x - 3) y + 4 = 2x - 6 y = 2x - 10
Odpowiedź: Wierzchołki: A₁(9,-7), B₁(-3,-1), C₁(3/5,-38/5), D₁(3,-10)
Równanie osi symetrii: y = 2x - 10
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.