Prosta l przecina okrąg o środku S w punktach A=(1-√(2),-1/8) i B=(1+√(2),-3/8). Punkt S leży na prostej l. Sprawdź, czy punkt S leży na prostej k o równaniu x − 4 y = 0.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: nie
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-87.png]
Trzeba znaleźć środek okręgu S, wiedząc że: - Prosta l przecina okrąg w punktach A i B - Punkt S leży na prostej l
## Krok 2: Znajdźmy równanie prostej l
Prosta przechodzi przez punkty A=(1-√(2), -1/8) i B=(1+√(2), -3/8).
Współczynnik kierunkowy: a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) = (-3/8 - (-1/8))/((1+√(2)) - (1-√(2))) = -2/8/(2√(2)) = -1/4/(2√(2)) = -1/(8√(2)) = -√(2)/16
Równanie prostej l przez punkt A: y - (-1/8) = -√(2)/16(x - (1-√(2)))
## Krok 3: Wyznaczmy środek S okręgu
Środek okręgu S jest równoodległy od punktów A i B, więc leży na symetralnej odcinka AB.
Środek odcinka AB: M = (((1-√(2))+(1+√(2)))/2, (-1/8+(-3/8))/2) = (1, -1/4)
Ponieważ S leży na prostej l przechodzącej przez A i B, oraz S jest środkiem okręgu (równoodległy od A i B), to S musi być środkiem cięciwy AB.
Warunek: Jeśli środek okręgu leży na cięciwie, to ta cięciwa musi być średnicą.
Sprawdzenie: Punkt S jako środek okręgu leży na prostej l tylko wtedy, gdy AB jest średnicą, więc: S = M = (1, -1/4)
## Krok 4: Sprawdźmy, czy S leży na prostej k: x - 4y = 0
Podstawiamy współrzędne punktu S = (1, -1/4) do równania prostej k: x - 4y = 1 - 4 · (-1/4) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
Ponieważ 2 ≠ 0, punkt S nie leży na prostej k.
Odpowiedź: NIE
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.