Pole trójkąta ABC równe jest S. Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku x : y : x, gdzie x i y są pewnymi liczbami dodatnimi. Wyznacz pole sześciokąta, którego wierzchołkami są punkty podziałów boków trójkąta (zobacz rysunek).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: S (1-3 (x/(2x+y))²)
Oznaczymy wierzchołki trójkąta jako A, B, C, a punkty podziału boków jako: - na boku AB: punkty D i E - na boku BC: punkty F i G - na boku CA: punkty H i I
Krok 1: Interpretacja podziału
Każdy bok dzielimy w stosunku x : y : x, co oznacza: - od wierzchołka odległość x - następnie odcinek długości y - na końcu odległość x do następnego wierzchołka
Suma: x + y + x = 2x + y
Krok 2: Współrzędne barycentryczne
Dla boku AB: - punkt D dzieli AB tak, że |AD| : |DB| = x : (y+x) - punkt E dzieli AB tak, że |AE| : |EB| = (x+y) : x
Krok 3: Pole narożnych trójkątów
Sześciokąt powstaje po "odcięciu" trzech narożnych trójkątów od trójkąta ABC.
Rozważmy trójkąt przy wierzchołku A o wierzchołkach A, D (na AB), I (na CA).
Punkt D: |AD|/|AB| = x/(2x+y)
Punkt I: |AI|/|AC| = x/(2x+y)
Krok 4: Wzór na pole trójkąta narożnego
Pole trójkąta ADI w stosunku do pola trójkąta ABC:
P_(ADI)/P_(ABC) = |AD|/|AB| · |AI|/|AC| · sin(∠DAI) · 1/(sin(∠BAC))
Ponieważ ∠DAI = ∠BAC, otrzymujemy:
P_(ADI)/S = |AD|/|AB| · |AI|/|AC| = x/(2x+y) · x/(2x+y) = (x/(2x+y))²
Zatem: P_(ADI) = S · (x/(2x+y))²
Krok 5: Suma pól trzech narożnych trójkątów
Z symetrii podziału każdy z trzech narożnych trójkątów (przy wierzchołkach A, B, C) ma takie samo pole:
P_(3 trójkąty) = 3 · S · (x/(2x+y))² = 3S(x/(2x+y))²
Krok 6: Pole sześciokąta
Pole sześciokąta otrzymujemy odejmując od pola całego trójkąta sumę pól trzech narożnych trójkątów:
P_(sześciokąt) = S - 3S(x/(2x+y))²
P_(sześciokąt) = S(1 - 3(x/(2x+y))²)
Odpowiedź: Pole sześciokąta wynosi S(1 - 3(x/(2x+y))²)
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.