Dane są dwa okręgi styczne wewnętrznie: okrąg O₁ o środku S i promieniu równym 6 oraz okrąg O₂ o środku T i promieniu długości 2. Z punktu S poprowadzono półproste styczne do okręgu O₂ w punktach K i L. Oblicz pole czworokąta SKTL.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 4√(3)
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-76.png]
Oznaczmy promienie okręgów: r₁ = 6, r₂ = 2
## Krok 2: Odległość między środkami okręgów
Okręgi są styczne wewnętrznie, więc mniejszy okrąg znajduje się wewnątrz większego. Odległość między środkami wynosi: |ST| = r₁ - r₂ = 6 - 2 = 4
## Krok 3: Analiza stycznych
Półproste SK i SL są styczne do okręgu O₂, gdzie K i L to punkty styczności.
Ponieważ promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności: TK ⊥ SK oraz TL ⊥ SL
## Krok 4: Obliczenie długości stycznej
W trójkącie prostokątnym STK (kąt prosty przy K): - |ST| = 4 (przeciwprostokątna) - |TK| = 2 (przyprostokątna - promień) - |SK| = ? (przyprostokątna - szukana długość)
Z twierdzenia Pitagorasa: |SK|² + |TK|² = |ST|² |SK|² + 4 = 16 |SK|² = 12 |SK| = 2√(3)
Analogicznie: |SL| = 2√(3)
## Krok 5: Pole czworokąta SKTL
Czworokąt SKTL składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych: STK i STL.
Pole trójkąta STK: P_(STK) = 1/2 · |SK| · |TK| = 1/2 · 2√(3) · 2 = 2√(3)
Pole czworokąta: P_(SKTL) = 2 · P_(STK) = 2 · 2√(3) = 4√(3)
Odpowiedź: Pole czworokąta SKTL wynosi 4√(3).
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.