Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF (zobacz rysunek) jest równa 8, a tangens kąta między wysokością trójkąta ABF poprowadzoną z wierzchołka F i płaszczyzną podstawy ABC tego graniastosłupa jest równy 4√(3)/3. Oblicz pole trójkąta ABF.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 4√(19)
Oznaczmy długość krawędzi podstawy graniastosłupa przez a.
## Krok 1: Ustalenie układu współrzędnych
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma: - podstawę ABC (dolna) - podstawę DEF (górna) - wysokość h = 8
## Krok 2: Analiza trójkąta ABF
Trójkąt ABF ma wierzchołki: - A i B w podstawie dolnej - F w podstawie górnej
Wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka F pada na krawędź AB. Nazwijmy punkt przecięcia S.
## Krok 3: Znajdowanie punktu S
Ponieważ F jest nad wierzchołkiem C (graniastosłup prosty), a trójkąt ABC jest równoboczny, punkt S to środek krawędzi AB.
W trójkącie równobocznym o boku a, odległość od wierzchołka do środka przeciwległej krawędzi wynosi (to wysokość trójkąta): h_(ABC) = a√(3)/2
Zatem CS = a√(3)/2.
## Krok 4: Analiza kąta nachylenia
Odcinek FS to wysokość trójkąta ABF poprowadzona z F.
Rzut punktu F na podstawę ABC to punkt C.
Odcinek CS to rzut FS na płaszczyznę podstawy.
Kąt α między FS a płaszczyzną podstawy spełnia: tanα= CF/CS = h/CS = 8/(a√(3)/2) = 16/a√(3)
## Krok 5: Obliczenie długości krawędzi podstawy
Z warunku zadania: 16/a√(3) = 4√(3)/3
16 · 3 = a√(3) · 4√(3)
48 = 12a
a = 4
## Krok 6: Obliczenie długości wysokości trójkąta ABF
Wysokość FS obliczymy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym CFS: FS = √(CF² + CS²) = √(8² + (4√(3)/2)²)
FS = √(64 + (2√(3))²) = √(64 + 12) = √(76) = 2√(19)
## Krok 7: Obliczenie pola trójkąta ABF
Pole trójkąta: P = 1/2 · AB · FS = 1/2 · 4 · 2√(19) = 4√(19)
Odpowiedź: Pole trójkąta ABF wynosi 4√(19).
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.