W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krótsza przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β takim, że sin β=2/√(7). Oblicz miarę kąta α, jaki tworzy dłuższa przekątna tej bryły z płaszczyzną podstawy.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 45°
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-99.png]
Oznaczmy bok podstawy graniastosłupa przez a, a wysokość graniastosłupa przez H.
## Krok 2: Analiza podstawy
Podstawą jest sześciokąt foremny o boku a. W sześciokącie foremnym wyróżniamy: - krótsza przekątna łączy wierzchołki odległe o 2 boki (przeskakuje jeden wierzchołek) - dłuższa przekątna łączy wierzchołki przeciwległe (przeskakuje dwa wierzchołki)
## Krok 3: Długości przekątnych podstawy
Dla sześciokąta foremnego o boku a: - krótsza przekątna: d_k = a√(3) - dłuższa przekątna: d_d = 2a
## Krok 4: Przekątne graniastosłupa
Krótsza przekątna graniastosłupa łączy wierzchołki dolnej i górnej podstawy, które są połączone krótszą przekątną podstawy. Jej długość: D_k = √(d_k² + H²) = √(3a² + H²)
Dłuższa przekątna graniastosłupa łączy wierzchołki dolnej i górnej podstawy, które są połączone dłuższą przekątną podstawy. Jej długość: D_d = √(d_d² + H²) = √(4a² + H²)
## Krok 5: Kąt nachylenia krótszej przekątnej
Kąt β to kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a jej rzutem na podstawę (czyli krótszą przekątną podstawy).
sin β= H/D_k = H/(√(3a² + H²))
Z warunku sin β= 2/√(7):
H/(√(3a² + H²)) = 2/√(7)
## Krok 6: Wyznaczenie relacji między H i a
Podnosząc do kwadratu obie strony:
H²/(3a² + H²) = 4/7
7H² = 4(3a² + H²)
7H² = 12a² + 4H²
3H² = 12a²
H² = 4a²
H = 2a
## Krok 7: Kąt nachylenia dłuższej przekątnej
Kąt α to kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a jej rzutem na podstawę.
sin α= H/D_d = H/(√(4a² + H²))
Podstawiając H = 2a:
sin α= 2a/(√(4a² + 4a²)) = 2a/√(8a²) = 2a/(2a√(2)) = 1/√(2) = √(2)/2
Zatem: α= 45°
Odpowiedź: Miara kąta α= 45°
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.