Dwa okręgi o promieniach r i R są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej w punktach A i B (zobacz rysunek). Oblicz wartość iloczynu rR, jeżeli wiadomo, że odcinek AB ma długość 5.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 25/4
Oznaczymy środki okręgów jako O₁ (okrąg o promieniu r) i O₂ (okrąg o promieniu R).
## Krok 1: Analiza sytuacji geometrycznej
Ponieważ okręgi są styczne zewnętrznie: |O₁O₂| = r + R
Okręgi są styczne do wspólnej prostej w punktach A i B, co oznacza, że prosta ta jest styczną zewnętrzną do obu okręgów.
## Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych
Umieśćmy prostą styczną na osi x. Punkty styczności to A i B.
Środki okręgów leżą prostopadle nad prostą styczną: - O₁ jest na wysokości r nad punktem A - O₂ jest na wysokości R nad punktem B
Przyjmijmy współrzędne: - A = (0, 0) - B = (5, 0) - O₁ = (0, r) - O₂ = (5, R)
## Krok 3: Wykorzystanie warunku stycznych zewnętrznych
Gdy prosta jest styczną zewnętrzną do dwóch okręgów o różnych promieniach, środki okręgów i punkty styczności tworzą trapez prostokątny.
Rozważmy odcinek O₁O₂. Z geometrii:
|O₁O₂|² = |AB|² + (R - r)²
Podstawiając |AB| = 5: |O₁O₂|² = 25 + (R - r)²
## Krok 4: Wykorzystanie warunku stycznych wewnętrznych
Z warunku stycznych zewnętrznie okręgów: (r + R)² = 25 + (R - r)²
## Krok 5: Rozwiązanie równania
Rozwijamy obie strony: r² + 2rR + R² = 25 + R² - 2rR + r²
Upraszczamy: 2rR = 25 - 2rR
4rR = 25
rR = 25/4
## Odpowiedź
Wartość iloczynu rR = 25/4
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.