Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym krawędź podstawy ma długość 4, jest równa 16√(6) (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 30°
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-98.png]
## Krok 2: Wyznaczenie wysokości graniastosłupa
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego: V = P_(podstawy) · H
Pole podstawy (trójkąta równobocznego o boku a = 4): P_(podstawy) = a²√(3)/4 = 16√(3)/4 = 4√(3)
Z danej objętości: 16√(6) = 4√(3) · H H = 16√(6)/(4√(3)) = 4√(6)/√(3) = 4√(6/3) = 4√(2)
## Krok 3: Zidentyfikowanie przekątnej ściany bocznej
Ściana boczna to prostokąt o wymiarach: - szerokość: a = 4 (krawędź podstawy) - wysokość: H = 4√(2)
Przekątna ściany bocznej: d = √(a² + H²) = √(16 + 32) = √(48) = 4√(3)
## Krok 4: Ustalenie kąta nachylenia
Niech przekątna należy do ściany bocznej S₁, a szukamy kąta nachylenia tej przekątnej do sąsiedniej ściany bocznej S₂.
Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny wyznaczamy jako kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.
## Krok 5: Rzut przekątnej na sąsiednią ścianę
Dwie sąsiednie ściany boczne przecinają się wzdłuż wspólnej krawędzi pionowej (długości H = 4√(2)).
Rzutem przekątnej ze ściany S₁ na sąsiednią ścianę S₂ jest odcinek od dolnego końca wspólnej krawędzi do punktu na górnej krawędzi ściany S₂, który jest "naprzeciwko" górnego końca przekątnej.
Ponieważ podstawa jest trójkątem równobocznym, kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi (przy patrzeniu z góry) wynosi 120°.
Długość rzutu poziomego wynosi a = 4, ale rzut na sąsiednią ścianę ma długość poziomą równą: a · cos(60°) = 4 · 1/2 = 2
Długość pełnego rzutu przekątnej na sąsiednią ścianę: d_(rzut) = √(H² + 2²) = √(32 + 4) = √(36) = 6
## Krok 6: Obliczenie kąta
Szukany kąt α spełnia: sinα= odległość od ściany/d = a · sin(60°)/d = 4 · √(3)/2/(4√(3)) = 2√(3)/(4√(3)) = 1/2
Zatem: α= 30°
Odpowiedź: 30°
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.