Dwa boki trójkąta prostokątnego ABC są zawarte w prostych o równaniach y = 2x − 3 oraz y=1/4 x-5/4. Wyznacz równanie prostej, która przechodzi przez punkt K=(4,-2) i zawiera trzeci bok trójkąta ABC. Rozważ wszystkie możliwości.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: y=-1/2 x lub y=-4x+14
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-84.png]
## Analiza danych
Mamy dwa boki trójkąta prostokątnego zawarte w prostych: - l₁: y = 2x - 3 (współczynnik kierunkowy a₁ = 2) - l₂: y = 1/4 x - 5/4 (współczynnik kierunkowy a₂ = 1/4)
## Sprawdzenie prostopadłości
Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1:
a₁ · a₂ = 2 · 1/4 = 1/2 ≠ -1
Zatem proste l₁ i l₂ nie są prostopadłe.
## Możliwe konfiguracje
Skoro kąt prosty nie jest między danymi bokami, trzeci bok musi być prostopadły do jednego z nich. Mamy dwie możliwości:
### Przypadek 1: Trzeci bok prostopadły do l₁
Prosta prostopadła do l₁ (o współczynniku a₁ = 2) ma współczynnik kierunkowy:
a₃ = -1/a₁ = -1/2
Równanie prostej przechodzącej przez K = (4, -2) o współczynniku -1/2:
y - (-2) = -1/2(x - 4)
y + 2 = -1/2 x + 2
y = -1/2 x
Weryfikacja: Czy ta prosta może tworzyć trójkąt z l₁ i l₂? - Musi przecinać obie proste l₁ i l₂ w różnych punktach - Sprawdzamy, że y = -1/2 x nie jest równoległa do l₂ (współczynniki -1/2 ≠ 1/4) ✓
### Przypadek 2: Trzeci bok prostopadły do l₂
Prosta prostopadła do l₂ (o współczynniku a₂ = 1/4) ma współczynnik kierunkowy:
a₃ = -1/a₂ = -1/(1/4) = -4
Równanie prostej przechodzącej przez K = (4, -2) o współczynniku -4:
y - (-2) = -4(x - 4)
y + 2 = -4x + 16
y = -4x + 14
Weryfikacja: Czy ta prosta może tworzyć trójkąt z l₁ i l₂? - Sprawdzamy, że y = -4x + 14 nie jest równoległa do l₁ (współczynniki -4 ≠ 2) ✓
## Odpowiedź
Istnieją dwa równania prostych zawierających trzeci bok trójkąta ABC:
y = -1/2 x
oraz
y = -4x + 14
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.