Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przyprostokątna AC ma długość 12. Punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej AB, spodek D wysokości CD leży między punktami A i E, a odległość między punktami D i E jest równa 1 (zobacz rysunek). Oblicz obwód tego trójkąta.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 30+6√(5)
Oznaczmy długości boków trójkąta prostokątnego ABC: - AC = 12 (dana przyprostokątna) - BC = a (druga przyprostokątna) - AB = c (przeciwprostokątna)
Z twierdzenia Pitagorasa: c² = 144 + a²
## Krok 1: Punkt E jako środek przeciwprostokątnej
Punkt E jest środkiem AB, więc AE = EB = c/2.
Własność: W trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego, więc: CE = c/2
## Krok 2: Wysokość CD
Wysokość opuszczona z kąta prostego na przeciwprostokątną ma długość: CD = AC · BC/AB = 12a/c
## Krok 3: Położenie punktu D
Punkt D dzieli przeciwprostokątną AB. Z własności wysokości: AD = AC²/AB = 144/c
## Krok 4: Warunek DE = 1
Punkt D leży między A i E, więc: DE = AE - AD = c/2 - 144/c = 1
Mnożymy obie strony przez 2c: c² - 288 = 2c c² - 2c - 288 = 0
## Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego
c = (2 ± √(4 + 1152))/2 = (2 ± √(1156))/2 = (2 ± 34)/2
Ponieważ c > 0: c = 36/2 = 18
## Krok 6: Obliczenie długości a
Z twierdzenia Pitagorasa: 18² = 144 + a² 324 = 144 + a² a² = 180 a = √(180) = √(36 · 5) = 6√(5)
## Krok 7: Weryfikacja
Sprawdzamy czy D leży między A i E: - AD = 144/18 = 8 - AE = 18/2 = 9 - DE = 9 - 8 = 1 ✓
Ponieważ 8 < 9, punkt D rzeczywiście leży między A i E.
## Obliczenie obwodu
Obwód = AC + BC + AB = 12 + 6√(5) + 18 = 30 + 6√(5)
Odpowiedź: 30 + 6√(5)
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.