W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S=(9,11). Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y=1/2 x-1, a bok AD zawiera się w prostej o równaniu y=2x-4. Oblicz współrzędne wierzchołka B. Zapisz obliczenia.

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu A.

Punkt A jest miejscem przecięcia się dwóch prostych podanych w treści zadania. Z geometrycznej interpretacji układu równań wynika, że poznamy współrzędne punkt A w momencie, gdy rozwiążemy następujący układ równań:

y=1/2 x-1 y=2x-4

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy następujące równanie:

1/2 x-1=2x-4 -1,5x-1=-4 -1,5x=-3 x=2

Znamy już pierwszą współrzędną punktu A. Aby poznać drugą współrzędną, wystarczy podstawić obliczone przed chwilą x=2 do jednego z równań z układu, np. do drugiego:

y=2 · 2-4 y=4-4 y=0

To oznacza, że A=(2;0).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu C.

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, więc punkt S jest środkiem przekątnej AC. Znamy współrzędne punktu A, znamy też współrzędne środka S, więc z poznaniem współrzędnych punktu C pomoże nam wzór na środek odcinka:

S=((x_A+x_C)/2;(y_A+y_C)/2)

Znając współrzędne obydwu punktów wystarczy podstawić te dane do wzoru. Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową:

x_S=(x_A+x_C)/2 9=(2+x_C)/2 18=2+x_C x_C=16 y_S=(y_A+y_C)/2 11=(0+y_C)/2 y_C=22

To oznacza, że C=(16;22).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej BC.

Prosta BC będzie prostą równoległą do AD, która będzie przechodzić przez wyznaczony przed chwilą punkt C. Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy a. Skoro prosta AD wyraża się równaniem y=2x-4 to prosta BC będzie wyrażać się równaniem y=2x+b. Brakujący współczynnik b poznamy podstawiając do tego wyrażenia współrzędne punktu C=(16;22), zatem:

22=2 · 16+b 22=32+b b=-10

Tym samym prosta BC wyraża się równaniem y=2x-10.

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu B.

Punkt B będzie miejscem przecięcia się prostej AB oraz wyznaczonej przed chwilą prostej BC. Musimy więc postąpić podobnie jak przy wyznaczeniu współrzędnych punktu A, czyli rozwiązać następujący układ równań:

y=1/2 x-1 y=2x-10

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:

1/2 x-1=2x-10 -1,5x-1=-10 -1,5x=-9 x=6

Aby poznać drugą współrzędną punktu B, wystarczy podstawić x=6 do jednego z równań z układu, np. drugiego:

y=2 · 6-10 y=12-10 y=2

Tym samym możemy stwierdzić, że B=(6;2).