W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) odcinek o końcach A=(-4,7) oraz B=(6,-1) jest średnicą okręgu O. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg O jest określony równaniem
Odpowiedzi do wyboru
- A.(x-1)²+(y-3)²=41
- B.(x-5)²+(y+4)²=41
- C.(x-1)²+(y+3)²=41
- D.(x-5)²+(y-4)²=41
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
Krok 1. Obliczenie współrzędnych środka okręgu.
Skoro odcinek AB jest średnicą okręgu, to środek tego odcinka będzie jednocześnie środkiem okręgu. Środek odcinka AB o współrzędnych A=(x_A;y_A) oraz B=(x_B;y_B) możemy opisać wzorem:
S=((x_A+x_B)/2;(y_A+y_B)/2)
Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
S=((-4+6)/2;(7+(-1))/2) S=(2/2;6/2) S=(1;3)
Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Równanie okręgu zapisujemy jako (x−a)²+(y−b)²=r², gdzie a oraz b to współrzędne środka okręgu S=(a;b), natomiast r to promień okręgu. Teoretycznie powinniśmy jeszcze obliczyć długość promienia (co byłoby możliwe, bo przecież to jest połowa odcinka AB), ale nie ma takiej potrzeby, bo wszystkie z podanych odpowiedzi mają tą samą wartość r², więc jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie bez znajomości długości promienia. Przyjmując więc, że r²=41, możemy stwierdzić, że nasz okrąg wyraża się równaniem:
(x-1)²+(y-3)²=41
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.