Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x oraz y jest równa 12. Wyznacz x oraz y, dla których wartość wyrażenia 2 x²+y² jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=4, y=8 f(x) = 96
Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że suma dwóch liczb ma być równa 12, czyli:
x+y=12 y=12-x
Dodatkowo od razu możemy zapisać założenia do naszego zadania. Liczby muszą być nieujemne, a jednocześnie ich suma jest równa 12, więc każda z tych liczb musi być większa lub równa 0 i jednocześnie mniejsza lub równa 12. Zapisalibyśmy więc założenie, że x ∈ ⟨0;12⟩ oraz y ∈ ⟨0;12⟩.
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji f(x).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie wartości wyrażenia z użyciem jednej zmiennej, czyli zmiennej x. Aby tego dokonać, wystarczy podstawić wyznaczone y=12-x do wyrażenia 2x²+y², otrzymując:
2x²+(12-x)²= =2x²+144-24x+x²= =3x²-24x+144
Teraz całość musimy potraktować jako funkcję kwadratową, więc moglibyśmy zapisać, że f(x)=3x²-24x+144.
Krok 3. Wyznaczenie wartości x oraz y.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik kierunkowy a=3 jest większy od zera.
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego x ta wartość będzie najmniejsza, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do góry osiągnie swoją najmniejszą wartość w wierzchołku. Aby obliczyć tę wartość, musimy skorzystać ze wzoru na współrzędną x_W (często oznaczaną też jako p):
x_W=-b/(2a) x_W=-(-24)/(2 · 3) x_W=24/6 x_W=4
To oznacza, że najmniejsza wartość będzie przyjmowana wtedy, gdy x=4. Od razu możemy obliczyć jaka będzie wartość y. W tym celu wystarczy skorzystać z równania zapisanego w pierwszym kroku, czyli:
y=12-4 y=8
Krok 4. Wyznaczenie najmniejszej wartości.
Największą pułapką tego zadania jest to, że obliczona przed chwilą wartość y=8 to nie jest najmniejsza wartość funkcji. Musimy zwrócić uwagę, że x oraz y to liczby, dla których ta najmniejsza wartość jest przyjmowana, więc trzeba byłoby teraz podstawić x=4 oraz y=8 do tego wyrażenia i sprawdzić jaki wynik otrzymamy:
2 · 4²+8²=2 · 16+64=32+64=96
Równie dobrze można byłoby skorzystać z naszej funkcji f(x)=3x²-24x+144 i obliczyć f(4), co wyglądałoby następująco:
f(4)=3 · 4²-24 · 4+144 f(4)=3 · 16-96+144 f(4)=48-96+144 f(4)=96
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.