Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: |AB|=12 oraz |CD|=6. Wysokość AD tego trapezu ma długość 24. Na odcinku AD leży punkt E taki, że |∢BEA|=|∢CED| (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka BE. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: |BE|=20
Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i ustalenie skali podobieństwa.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąty ABE oraz DCE są trójkątami podobnymi na podstawie cechy kąt-kąt-kąt (mają one jednakowy kąt przy wierzchołku E oraz są trójkątami prostokątnymi, więc i miara trzeciego kąta jest jednakowa). Wiemy, że analogiczne dwa boki mają długości odpowiednio: 12 oraz 6, więc jeśli przyjmiemy, że mniejszy trójkąt DCE jest trójkątem podstawowym, a większy ABE jest podobnym, to skala podobieństwa będzie równa:
k=12/6 k=2
Oczywiście moglibyśmy też przyjąć to podobieństwo na odwrót, co sprawiłoby, że k=1/2 i wtedy konsekwentnie trzeba byłoby właśnie tę skalę brać do dalszych obliczeń.
Krok 2. Obliczenie długości boku AE.
Ustaliliśmy już, że większy trójkąt ma boki 2 razy większe od mniejszego. Jeśli więc oznaczylibyśmy bok DE jako x, to bok AE miałby długość 2x. Z treści zadania wynika, że suma tych boków jest równa 24, zatem:
x+2x=24 3x=24 x=8
Tym samym możemy stwierdzić, że |DE|=8 oraz |AE|=2 · 8=16.
Krok 3. Obliczenie długości odcinka BE.
Spójrzmy na trójkąt ABE. Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch boków: 12 oraz 16. Poszukiwany bok BE jest przeciwprostokątną tego trójkąta, zatem z pomocą przyjdzie nam twierdzenie Pitagorasa:
12²+16²=|BE|² 144+256=|BE|² 400=|BE|² |BE|=20 |BE|=-20
Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam |BE|=20.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.