Matura poprawkowa sierpień 2024 - matematyka, rozwiązania arkusza

O arkuszu - Matura poprawkowa sierpień 2024

Matura poprawkowa z matematyki na poziomie podstawowym z sierpnia 2024 to szansa dla maturzystów, którzy nie zdali egzaminu w sesji majowej. Arkusz zawierał 34 zadania: 25 zamkniętych i 9 otwartych, za łącznie 46 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 14 punktów.

Matura poprawkowa ma opinię łatwiejszej od majowej, ale to mit. Arkusz z sierpnia 2024 zdecydowanie stawiał na geometrię analityczną (aż 8 zadań za 12 punktów) oraz potęgi i pierwiastki (5 zadań za 10 punktów). To razem ponad połowa punktów z arkusza - jeśli te dwa działy miałeś opanowane, zdanie nie stanowiło problemu.

Jeśli szukasz rozwiązań nowszych arkuszy, sprawdź maturę z maja 2025 lub maturę próbną CKE z marca 2026.

Rozkład kategorii w arkuszu

Geometria analityczna zdominowała ten arkusz - 8 zadań to naprawdę dużo. Na typowej maturze pojawia się 4-6 zadań z tego działu. Widać, że CKE uznała, iż to kluczowy dział, który powinien decydować o zdawalności. Warto to zapamiętać przygotowując się do kolejnych egzaminów.

Analiza trudności

Łatwe punkty (zadania 1-10, ok. 12 pkt)

Początek arkusza to klasyka maturalna: upraszczanie wyrażeń z potęgami, proste zadania z geometrii analitycznej (odczytywanie współrzędnych, równanie prostej) i podstawowe funkcje. Te zadania powinien rozwiązać każdy, kto przygotowywał się do matury przynajmniej kilka tygodni.

Średnie zadania (zadania 11-25, ok. 20 pkt)

Środkowa część arkusza wymagała solidnej znajomości wzorów: trygonometria, ciągi, nierówności kwadratowe, równania prostych i okręgów. To tu rozstrzygała się kwestia zdania matury - zdobycie choćby połowy tych punktów dawało bezpieczny zapas ponad próg.

Trudne zadania (zadania 26-34, ok. 14 pkt)

Końcówka to stereometria przestrzenna, geometria analityczna wyższego poziomu (symetralna odcinka, odległość punktu od prostej w zadaniach wieloetapowych) i prawdopodobieństwo. Te zadania oddzielały maturzystów celujących w wysokie wyniki od reszty.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Treść: Uprość wyrażenie $\frac{12^6}{4^6 \cdot 3^5}$.

Rozwiązanie:

Rozkładamy 12 na czynniki pierwsze: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.

$$\frac{12^6}{4^6 \cdot 3^5} = \frac{(2^2 \cdot 3)^6}{(2^2)^6 \cdot 3^5} = \frac{2^{12} \cdot 3^6}{2^{12} \cdot 3^5} = 3^{6-5} = 3$$

Klucz do tego zadania to umiejętność rozkładu na czynniki i stosowanie wzoru $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Ten typ zadania pojawia się na każdej maturze - ćwicz go w dziale potęgi i pierwiastki.

Odpowiedź: A

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 3 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Treść: Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{75} - 2\sqrt{27} + \sqrt{48}$.

Rozwiązanie:

Wyciągamy czynniki spod pierwiastków:

$$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$$ $$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$ $$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$

Podstawiamy:

$$5\sqrt{3} - 2 \cdot 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$

Wyciąganie czynnika spod pierwiastka to jedna z najważniejszych umiejętności na maturze. CKE testuje ją na każdym arkuszu - przygotuj się rozwiązując zadania z potęg.

Odpowiedź: C

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 7 - Geometria analityczna (1 pkt) ↗

Treść: Punkty $A = (2, -1)$ i $B = (6, 3)$ są końcami odcinka. Wyznacz współrzędne środka odcinka $AB$.

Rozwiązanie:

Stosujemy wzór na środek odcinka:

$$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{2 + 6}{2},\; \frac{-1 + 3}{2}\right) = (4, 1)$$

To jedno z najprostszych zadań z geometrii analitycznej, ale warto pamiętać ten wzór - pojawia się zarówno w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, jak i jako krok pośredni w trudniejszych zadaniach otwartych.

Odpowiedź: B

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 14 - Funkcje (1 pkt) ↗

Treść: Funkcja $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem $x = 3$. Wyznacz asymptotę poziomą wykresu tej funkcji.

Rozwiązanie:

Asymptota pozioma to granica funkcji, gdy $x \to \pm\infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac{2}{1} = 2$$

Asymptota pozioma: $y = 2$.

Na maturze podstawowej nie wymaga się formalnej znajomości granic, ale CKE często pyta o zachowanie funkcji wymiernych. Wystarczy podzielić licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ i sprawdzić, co się dzieje gdy $x$ rośnie.

Odpowiedź: D

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 20 - Geometria analityczna (2 pkt) ↗

Treść: Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $P = (1, 5)$, równoległej do prostej $y = 3x - 7$.

Rozwiązanie:

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Z równania $y = 3x - 7$ odczytujemy $a = 3$.

Szukana prosta ma postać $y = 3x + b$. Podstawiamy punkt $P = (1, 5)$:

$$5 = 3 \cdot 1 + b$$
$$b = 2$$

Odpowiedź: $y = 3x + 2$

To klasyczne zadanie otwarte za 2 punkty. Schemat jest zawsze ten sam: (1) odczytaj współczynnik kierunkowy, (2) podstaw punkt, (3) oblicz wyraz wolny. Więcej takich zadań znajdziesz w dziale geometria analityczna.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 26 - Trygonometria (2 pkt) ↗

Treść: W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę $\alpha$, przy czym $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Oblicz wartość wyrażenia $\cos\alpha + \tan\alpha$.

Rozwiązanie:

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
$$\frac{9}{25} + \cos^2\alpha = 1$$
$$\cos^2\alpha = \frac{16}{25}$$
$$\cos\alpha = \frac{4}{5} \quad (\text{bo } \alpha \text{ jest kątem ostrym})$$

Obliczamy tangens:

$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$$

Zatem:

$$\cos\alpha + \tan\alpha = \frac{4}{5} + \frac{3}{4} = \frac{16}{20} + \frac{15}{20} = \frac{31}{20}$$

Jedynka trygonometryczna to wzór, który musisz znać na pamięć. Pojawia się na maturze regularnie - sprawdź więcej zadań w dziale trygonometria.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 30 - Stereometria (2 pkt) ↗

Treść: Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy długości $a = 4$ i wysokość $h = 6$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku $a = 4$.

Pole podstawy:

$$P_p = a^2 = 4^2 = 16$$

Objętość:

$$V = P_p \cdot h = 16 \cdot 6 = 96$$

Odpowiedź: $V = 96$

Graniastosłup prawidłowy to jedna z najprostszych brył na maturze - wzór na objętość to po prostu pole podstawy razy wysokość. Trudniejsze zadania ze stereometrii wymagają obliczania przekątnych ścian bocznych lub kątów między przekątną bryły a podstawą. Ćwicz w dziale stereometria.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 34 - Geometria analityczna (4 pkt) ↗

Treść: Dane są punkty $A = (-2, 1)$ i $B = (4, 5)$. Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB$.

Rozwiązanie:

Krok 1: Środek odcinka $AB$:

$$S = \left(\frac{-2+4}{2},\; \frac{1+5}{2}\right) = (1, 3)$$

Krok 2: Współczynnik kierunkowy prostej $AB$:

$$a_{AB} = \frac{5-1}{4-(-2)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Krok 3: Symetralna jest prostopadła do $AB$, więc jej współczynnik kierunkowy:

$$a_s = -\frac{1}{a_{AB}} = -\frac{3}{2}$$

Krok 4: Równanie symetralnej (przechodzi przez $S = (1, 3)$):

$$y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 1)$$
$$y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} + 3$$
$$y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$$

Symetralna odcinka to jedno z najtrudniejszych zadań z geometrii analitycznej na maturze podstawowej. Wymaga trzech umiejętności naraz: środek odcinka, współczynnik kierunkowy i warunek prostopadłości. To zadanie za 4 punkty - warto je przećwiczyć wielokrotnie.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z rozwiązaniami są dostępne na Sprawnej Maturze:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-4 pkt):

Cały arkusz: Matura sierpień 2024 - wszystkie zadania

Wnioski i wskazówki

1. Geometria analityczna to fundament - 8 zadań za 12 punktów to rekord. Musisz opanować: równanie prostej, środek odcinka, odległość punktu od prostej, symetralną, równanie okręgu. Ćwicz w dziale geometria analityczna.
2. Potęgi to pewne punkty - 5 zadań za 10 punktów to łatwe punkty, jeśli znasz wzory. Przejrzyj potęgi i pierwiastki.
3. Funkcje pojawiły się aż 6 razy - to dużo. Odczytywanie własności z wykresu, dziedzina, asymptoty - to umiejętności, które musisz opanować.
4. Stereometria za 3+4 punkty - trudna, ale warta wysiłku. Wzory na objętości i pola brył znajdziesz w tablicach, ale musisz umieć je stosować.

Porównaj ten arkusz z maturą z sierpnia 2023 i maturą z maja 2023, żeby zobaczyć jak zmieniają się proporcje kategorii.

Przygotuj się do następnej matury

Na Sprawnej Maturze masz ponad 2400 zadań z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Zacznij od losowego zadania i ćwicz codziennie - nawet 15 minut dziennie robi różnicę!