W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są dwa punkty A=(1, 0) oraz B=(-2, 1), które są wierzchołkami rombu ABCD. Osią symetrii rombu ABCD jest oś OX układu współrzędnych. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole tego rombu jest równe
Odpowiedzi do wyboru
- A.6
- B.9
- C.12
- D.18
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2026-33.png]
Rozwiązuje się krok po kroku.
## Dane - Punkty: A = (1, 0) i B = (-2, 1) - ABCD jest rombem - Oś OX jest osią symetrii rombu
## Krok 2: Wyznaczenie pozostałych wierzchołków
Skoro oś OX jest osią symetrii rombu, to punkty symetryczne względem osi OX także są wierzchołkami rombu.
Punkt symetryczny do B = (-2, 1) względem osi OX to: B' = (-2, -1)
Punkt A = (1, 0) leży na osi OX, więc jest symetryczny sam do siebie.
## Krok 3: Ustalenie kolejności wierzchołków
W rombie ABCD mamy: - A = (1, 0) - B = (-2, 1)
Skoro oś OX jest osią symetrii całego rombu, to: - Jeśli B leży nad osią OX, to wierzchołek naprzeciwko niego musi leżeć pod osią - Symetrycznym do B jest punkt (-2, -1)
Kolejność wierzchołków: A = (1, 0), B = (-2, 1), C (do wyznaczenia), D = (-2, -1)
## Krok 4: Wyznaczenie punktu C
W rombie przekątne przecinają się w połowie. Środek rombu leży na osi symetrii, więc ma współrzędne (x₀, 0).
Środek przekątnej BD: S = ((-2 + (-2))/2, (1 + (-1))/2) = (-2, 0)
Skoro S jest środkiem rombu, to jest też środkiem przekątnej AC: S = (A + C)/2 (-2, 0) = ((1, 0) + C)/2 (-4, 0) = (1, 0) + C C = (-5, 0)
## Krok 5: Obliczenie długości przekątnych
Przekątna AC: |AC| = |(-5, 0) - (1, 0)| = |-6, 0| = 6
Przekątna BD: |BD| = |(-2, -1) - (-2, 1)| = |0, -2| = 2
## Krok 6: Obliczenie pola rombu
Pole rombu jest równe połowie iloczynu długości przekątnych: P = 1/2 · |AC| · |BD| = 1/2 · 6 · 2 = 6
Odpowiedź: A
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.