Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla którego trzywyrazowy ciąg (2m-1, m, 2m+1) jest geometryczny. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: m=-√(3)/3 lub m=√(3)/3
Ciąg (a₁, a₂, a₃) jest geometryczny, gdy iloraz kolejnych wyrazów jest stały, czyli: a₂/a₁ = a₃/a₂
Równoważnie można zapisać warunek: a₂² = a₁ · a₃
Krok 1: Podstawia się wyrazy ciągu
Dla ciągu (2m-1, m, 2m+1) warunek ma postać: m² = (2m-1)(2m+1)
Krok 2: Rozwija się prawą stronę
Wykorzystuje się wzór skróconego mnożenia (a-b)(a+b) = a² - b²: (2m-1)(2m+1) = (2m)² - 1² = 4m² - 1
Krok 3: Rozwiązuje się równanie
m² = 4m² - 1
Przenosi się wszystko na lewą stronę: m² - 4m² + 1 = 0 -3m² + 1 = 0 -3m² = -1 m² = 1/3
Krok 4: Wyznacza się wartości m
m = √(1/3) lub m = -√(1/3)
Przekształca się pod pierwiastkiem: m = 1/√(3) = 1/√(3) · √(3)/√(3) = √(3)/3
lub
m = -√(3)/3
Krok 5: Sprawdzenie warunku istnienia ciągu geometrycznego
Dla ciągu geometrycznego żaden wyraz nie może być zerem (bo nie istniałby iloraz).
- Dla m = √(3)/3: drugi wyraz m ≠ 0 ✓ - Dla m = -√(3)/3: drugi wyraz m ≠ 0 ✓
Odpowiedź:
m = -√(3)/3 lub m = √(3)/3
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.