Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kątach ostrych α i β oraz przyprostokątnej BC długości 2√(5) (zobacz rysunek). Kąt prosty jest przy wierzchołku C. Cosinus kąta β jest równy 2/3. a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α jest równy A. √(5)/5 B. 2√(5)/6 C. 2√(5)/5 D. √(5)/3 b) Oblicz obwód okręgu opisanego na trójkącie ABC. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) C b) O = 6π
## Dane
Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy wierzchołku C. Przyprostokątna BC = 2√(5), cosβ= 2/3.
Z rysunku: kąt α jest przy wierzchołku B, kąt β jest przy wierzchołku A.
## Krok 1: Obliczenie sinβ
Z jedynki trygonometrycznej: sin²β= 1 - cos²β= 1 - 4/9 = 5/9 sinβ= √(5)/3
## Krok 2: Obliczenie tanβ
tanβ= sinβ/cosβ= √(5)/3/(2/3) = √(5)/2
## Krok 3: Wyznaczenie boków trójkąta
W trójkącie prostokątnym przy C (z rysunku BC jest przyprostokątną pionową):
Z kąta β przy wierzchołku A: tanβ= BC/AC = 2√(5)/AC
√(5)/2 = 2√(5)/AC
AC = 2√(5) · 2/√(5) = 4
Przeciwprostokątna AB z twierdzenia Pitagorasa: AB = √(BC² + AC²) = √((2√(5))² + 4²) = √(20 + 16) = √(36) = 6
## a) Tangens kąta α
Kąt α jest przy wierzchołku B. W trójkącie prostokątnym: tanα= AC/BC = 4/(2√(5)) = 2/√(5) = 2√(5)/5
Odpowiedź: C
## b) Obwód okręgu opisanego na trójkącie ABC
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, a promień jest równy połowie przeciwprostokątnej: R = AB/2 = 6/2 = 3
Obwód okręgu opisanego: O = 2πR = 2π · 3 = 6π
Odpowiedź: O = 6π
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.